Curvas y superficies

En esta sección vamos a hablar de forma muy informal sobre variedades y, en particular, sobre la clasificación de curvas y superficies. Explicaremos como se obtienen modelos de todas las clases de homeomorfía de curvas y de superficies (compactas) identificando dos a dos los extremos o aristas de una colección de segmentos o triángulos, según se trate de curvas o de superficies.

Variedades topológicas

Un espacio topológico se llama variedad topológica de dimensión $n$ si cumple

1. Dos puntos distintos tienen siempre entornos disjuntos.

2. Todo punto tiene un entorno abierto homeomorfo a una bola de $\mathbb R^n$.

Por razones técnicas se exige normalmente que además tengan una base de abiertos numerable.

Las variedades de dimensión uno y dos se llaman curvas y superficies respectivamente. Todos los subespacios abiertos de $\mathbb R^n$ son variedades de dimensión $n$.

Las variedades son, sin duda, los objetos matemáticos más interesantes. Aparecen en todas las ramas de la Geometría: variedades topológicas, diferenciales, algebraicas,... y son siempre uno de los principales objetos de estudio. Y entre los objetivos está, naturalmente, su clasificación. Sin embargo, planteado en toda su generalidad, este objetivo es en la actualidad inalcanzable. Los esfuerzos se han concentrado en variedades compactas. (Lo que significa compacidad lo veremos más adelante.)

La clasificación de curvas, compactas y no compactas, no presenta dificultades. Todas tienen un modelo en el plano. De superficies compactas hay de dos tipos, orientables y no orientables. Las primeras pueden sumergirse en $\mathbb R^3$; las no orientables no, pero tienen modelos en $\mathbb R^4$.

En dimensiones superiores el problema es mucho más complicado y no resuelto. En dimensión 3, uno de los ingredientes esenciales es la famosa conjetura de Poincaré.

Conjetura de Poincaré. Toda variedad de dimensión 3, compacta y simplemente conexa es homeomorfa a la esfera.

Simplemente conexa significa que toda curva sobre la superficie puede deslizarse sobre ella hasta concentrarse en un punto. O, lo que es lo mismo, delimita una zona de la superficie sin ningún agujero. La compacidad la definiremos más adelante.

La conjetura de Poincaré se enunció en 1904 pero no pudo ser demostrada hasta el 2003. Durante un siglo, los intentos de solucionar el problema y comprender las dificultades que para su demostración se iban presentando, dieron lugar a numerosos avances en muy distintas direcciones, hasta que una de estas culminó en la demostración que completó Grigori Perelman. Sin embargo, el trabajo de los especialistas para analizar el detalle de todos los pasos que habían conducido a la solución duró aun unos años, hasta que en el 2006 la comunidad matemática dio por confirmado el resultado.

En el caso de las curvas y las superficies compactas, los pasos de la clasificación son los siguiente:

1. Segmentación y triangulación: Es la parte más técnica y difícil del proceso. Consiste en demostrar que toda curva compacta se puede descomponer en un número finito de trozos homeomorfos a segmentos cerrados que solo tienen extremos en común; cada extremo lo es exactamente de dos intervalos. Análogamente, se demuestra que toda superficie compacta se puede descomponer en un número finito de trozos homeomorfos a triángulos que solo tienen aristas en común; cada arista lo es exactamente de dos triángulos.

2. Reconstrucción: Consiste en enganchar un número finito de segmentos o triángulos identificando los extremos o aristas dos a dos. Es decir, considerar los espacios cocientes obtenidos de la unión (o suma) de todos los segmentos o triángulos identificando pares de extremos o aristas. No es difícil probar que, se hagan como se hagan las identificaciones de pares de extremos o aristas, se obtiene una curva o una superficie. Así pues, enganchando los trozos de todas las maneras posibles obtendremos todas las curvas y superficies posibles.

3. Clasificación: Diferentes formas de enganchar los segmentos o triángulos pueden dar lugar curvas o superficies homeomorfas. La clasificación solo acabará cuando se determinen cuantas clases de espacios homeomorfos se obtienen.

Al enganchar dos segmentos obtenemos o bien otro segmento ("mayor" lo cual no significa nada en topología; todos los segmentos son homeomorfos) o bien, si enganchamos los dos extremos de un mismo segmento, una circunferencia. $$ f: [0, 1] \longrightarrow [0,1]/\{0,1\} \stackrel{\cong}{\longrightarrow} S^1, \qquad f(t) = (\cos{2t\pi}, \, \sin{2t\pi}) $$ Es decir, todas las curvas compactas son una o varias circunferencias.

En el caso de una superficie se procede a identificar pares de aristas sobre un plano. La primera identificación nos da un cuadrado y a partir de entonces cada vez que identificamos una arista del polígono con una arista de un triángulo nuevo, se obtiene un polígono con dos lados más que el anterior. En el momento en que ninguna arista del polígono se identifica con un triángulo aun no utilizado, es que habremos obtenido un polígono con un número par de lados que deben ser identificados dos a dos. Recíprocamente, identificando dos a dos los lados de un polígono con un número par de lados, se obtiene siempre una superficie.

Podemos cortar el polígono con todos los lados identificados dos a dos, y unir los dos polígonos resultantes por un par aristas distintas de las que proceden del corte. No es difícil ver que, de esta forma, se puede siempre llegar a un polígono cuyos lados haya que identificarlos según una de las siguientes "palabras": $$ aa^{-1},\qquad aa, \qquad aacc, \qquad a_1b_1a_1^{-1}b_1^{-1}, a_gb_ga_g^{-1}b_g^{-1}, $$ $$ a_1b_1a_1^{-1}b_1^{-1}\dots a_gb_ga_g^{-1}b_g^{-1}cc, \qquad a_1b_1a_1^{-1}b_1^{-1}\dots a_gb_ga_g^{-1}b_g^{-1}ccdd $$ donde el número $g$ de grupos de cuatro puede ser cualquier entero positivo (incluido ninguno, es decir $ g = 0$). El número de letras de cada palabra indica el número de lados del polígono. Elegido un sentido para recorrer el borde, cada arista se identifica con la que tiene la misma letra, en el mismo sentido o en sentido opuesto según no vaya o vaya afectada del exponente $-1$. Así, por ejemplo, obtenemos en particular, que la palabra $aa^{-1}$ representa una esfera, la palabra $aa$ un plano proyectivo, y la palabra $aba^{-1}b^{-1}$ un toro:

La identificación con la que se obtiene normalmente una botella de Klein corresponde a la palabra $aba^{-1}b$. Sin embargo en la lista anterior aparece representada por la palabra $aacc$:

El doble toro corresponde a la palabra $a_1b_1a_1^{-1}b_1^{-1}a_2b_2a_2^{-1}b_2^{-2}$:

En general, recortando un círculo en dos superficies, $S_1$, $S_2$, y uniendo sus borde, se obtiene otra superficie que se llama suma conexa y se designa por $S_1 \#S_2$; la palabra que la representa es la yuxtaposición de las palabras que representan a $S_1$ y $S_2$. En particular, la palabra $a_1b_1a_1^{-1}b_1^{-1}\dots a_gb_1a_g^{-1}b_g^{-1}$ corresponde a la suma conexa de $g$ toros. La palabra $a_1b_1a_1^{-1}b_1^{-1}\dots a_gb_1a_g^{-1}b_g^{-1}cc$ corresponde a la suma conexa de $g$ toros y un plano proyectivo. La palabra $a_1b_1a_1^{-1}b_1^{-1}\dots a_gb_1a_g^{-1}b_g^{-1}ccdd$ corresponde a la suma conexa de $g$ toros y una botella de Klein.