Topologías final e inicial

En las construcciones que hemos visto en este capítulo nos hemos encontrado con aplicaciones,

$\hspace{2cm} \iota_A: A \hookrightarrow (X, \tau)$
$\hspace{2cm} p_k: \prod_j X_j \longrightarrow (X_k, \tau_k)$
$ \hspace{2cm} p: (X, \tau) \longrightarrow X/{\sim}$

en las que, o bien el espacio de salida o bien el de llegada, son espacios topológicos, pero el otro conjunto no lo es. Hemos querido dotar de una topología al conjunto que carecía de ella de forma que estas aplicaciones fueran continuas. Estos son casos particulares de un método general de dotar de una topología conveniente a conjuntos relacionados con espacios topológicos por aplicaciones, de forma que estas aplicaciones sean continuas.

Consideremos primero el caso en el que el conjunto de salida de una aplicación es el que carece de topología: $$ f : X \longrightarrow (Y, \rho) $$ $f$ será continua si la antiimagen de los abiertos de $Y$ son abiertos. Por tanto, podríamos tomar en $X$ todos sus subconjuntos como abiertos, es decir la topología discreta, y cualquier $f$ sería continua. Poco interés es previsible que tenga esa topología. Más inteligente es tomar la mínima cantidad de abiertos posible que hagan nuestra $f$ continua. Es lo que hicimos al definir la topología de los subespacios.

Sea $f : X \longrightarrow (Y, \rho)$ una aplicación de un conjunto $X$ en un espacio topológico. Se llama topología inicial inducida por $f$ a la topología de $X$ que tiene como abiertos las antiimágenes de abiertos de $(Y, \rho)$.

En ocasiones es toda una familia de aplicaciones $f_j: X \to (Y_j, \rho_j)$ las que queremos que sean continuas. Procedemos de la misma forma. La única diferencia es que, además de las antiimágenes de abiertos, tendremos que tomar intersecciones finitas y uniones arbitrarias de estas intersecciones. Es lo que hicimos para definir la topología en el producto de forma que todas las proyecciones fueran continuas.

Sea $f_j : X \longrightarrow (Y_j, \rho_j)$, $\, j \in J$, una familia de aplicaciones de un conjunto $X$ en distintos espacios topológicos. Se llama topología inicial inducida por la familia $f_j$ a la topología de $X$ que tiene como abiertos las antiimágenes de abiertos por estas aplicaciones, sus intersecciones finitas y las uniones arbitrarias de estas intersecciones.

Es un buen momento para leer la sección sobre los conceptos de base y subbases del primer capítulo. En la definición anterior, las antiimágenes de abiertos por las $f_j$ son una subbase de la topología que definimos.

Un razonamiento similar puede hacerse cuando es el conjunto de llegada el que carece de topología. Supongamos dadas $f_j : (Xj, \tau_j) \longrightarrow Y$, $\, j \in J$. En este caso es la topología que solo consta del vacío y el total, la que seguro que hace continuas estas y todas las aplicaciones con imagen en $Y$. Pero esa topología no interesa; ahora la opción natural es tomar la cantidad máxima de abiertos que haga que todas las $f_j$ sean continuas. Es lo que hicimos en el caso del espacio cociente.

Sea $f_j : (Xj, \tau_j) \longrightarrow Y$, $\, j \in J$, una familia de aplicaciones de distintos espacios topológicos en un conjunto $Y$. Se llama topología final inducida por la familia $\{f_j; j\in J\}$ a la topología de $Y$ que tiene como abiertos los subconjuntos $$ W \subset Y \quad \text{tales que} \quad f_j^{-1}(W) \in \tau_j, \,\, \text{ para todos los }\,\, j\in J $$

Con estas definiciones podemos comprobar que las propiedades enunciadas para el caso de subespacios, de productos y de cocientes, son casos particulares de las siguientes.

Proposición. Sea $f_j: (X_j, \tau_j) \to Y$, $\, j\in J$, una familia de aplicaciones de espacios topológicos en un conjunto $Y$. Designemos por $\rho_f$ la topologia final en $Y$.

1. Una aplicación $g:(Y,\rho_f) \to (Z, \rho)$ es continua si, y solo si, todas las composiciones $g \circ f_j$ son continuas.

2. Recíprocamente, si una topología $\rho$ en $Y$ cumple que $$ g:(Y,\rho) \to (Z, \tau)\quad \text{ es continua } \quad\Leftrightarrow\quad g \circ f_j \quad\text{ es continua para todo} \,\, j \in J $$ entonces, $\tau$ es la topología final.

Demostración.

Proposición. Sea $\tau_i$ la topología inicial en $X$ respecto una familia de aplicaciones $f_j: X \to (Y_j, \rho_j)$, $\,j\in J$.

1. Una aplicación $g: (Z, \rho) \to (X, \tau_i)$ es continua si, y solo si, todas las composiciones $f_j \circ g$ son continuas.

2. Recíprocamente, si una topologia $\tau$ en $X$ cumple $$ g:(Z, \rho) \to (X, \tau) \quad \text{ es continua } \quad\Leftrightarrow\quad f_j \circ g \quad \text{ son continuas, para todo } \,\, j \in J $$ entonces $\tau$ es la topología inicial.

Demostración.