Proposición. Sea $\mathcal b$ una familia de subconjuntos de $X$.
$\mathcal B$ es una base de una topología de $X$ si, y solo si,
1. Para todo $x \in X$ existe un $B \in \mathcal b$, tal que $ x \in B$.
2. Para todo $x \in B_1 \cap B_2$, con $B_1, B_2 \in \mathcal b$, existe
$B \in \mathcal b$ tal que $\, x \in B \in B_1 \cap B_2$.
Demostración
Por la definición, cualquier base cumple las dos condiciones. Demostremos el
recíproco.
Sea $\tau$ la familia de todas las uniones de subconjuntos en $\mathcal b$.
La condición 1. nos dice que $X \in \tau$. Ya acordamos que $\emptyset$ lo
consideramos como la unión de ningún subconjunto de $\mathcal b$:
$\emptyset \in \tau$.
Que la unión de conjuntos en $\tau$ es unión de conjuntos en $\mathcal b$ es evidente.
La condición 2. nos dice que la intersección de dos conjuntos de $\mathcal b$
está en $\tau$. Ahora bien, la intersección de dos conjuntos cualesquiera
$U_1, U_2 \in \tau$, que son unión de conjuntos de $\mathcal b$, es unión de
intersecciones de dos conjuntos de $\mathcal b$:
$$
U_1 = \bigcup_{j \in J} B_{1,j}, \quad U_2 = \bigcup_{i\in I} B_{1,i}
\quad\Rightarrow\quad U_1 \cap U_2 = \bigcup_{j,i} B_{1,j} \cap B_{2,i}
$$
Por tanto $U_1 \cap U_2 \in \tau$.