Proposición. Sea $\mathcal s$ una familia de subconjuntos de $X$. La familia de todas las uniones de intersecciones finitas de elementos de $\mathcal s$ es una topología si, y solo si, para todo $x \in X$ existe un $S \in \mathcal s$, tal que $ x \in S$.
Demostración
La condición es necesaria porque para que $X$ pertenezca a la topología
$\mathcal s$ debe cubrir todo el espacio.
Veamos que es suficiente. Sea $\beta$ la familia de todas las intersecciones
finitas de elementos de $\mathcal s$. La demostración consiste en ver que
$\beta$ es base de una topología. Vamos pues a probar que se cumplen las dos
condiciones que aseguran que $\beta$ es base de una topología (ver
aquí).
1. Para todo $x \in X$ existe un $B \in \beta$ tal que $x \in B$. En efecto,
por la condición del enunciado, existe un $S \in \mathcal s \subset \beta$ que
contiene a $x$.
2. Para todo $x \in B_1 \cap B_2$, con $B_1, B_2 \in \beta$, existe $B \in \beta$
tal que $x \in B \subset B_1 \cap B_2$. En efecto, como $B_1, B_2$ son
intersección de un número finito de elementos de $\mathcal s$, su intersección
también es intersección de un número finito de elementos de $\mathcal s$,
es decir $\, B_1 \cap B_2 \in \beta$.