Ejemplo de función inversa de una continua, no continua
Sean $S^1 = \{(x,y) \mid x^2+y^2 = 1 \}$, $\, [0,1) = \{ t\in \mathbb R \mid 0 \leq t < 1 \}$, con las topologias definidas por las distancias usuales del plano y la recta. La función $$ f: [0, 1) \longrightarrow S^1, \qquad f(t) = ( \cos{2\pi t}, \, \sin{2 \pi t}) $$ es continua y biyectiva. Ahora bien, la función inversa no es continua en el punt $(1,0)$.
Denotemos por $g := f^{-1}$ la función inversa. El conjunto $[0, \, 1/2 )$ es la bola de centro $0$ y radio $1/2$ del espacio $[0, 1)$ y, en particular, es un abierto de este espacio. Ahora bien, $$ g^{-1} [0, \frac12) = f\, [0, \frac12) = \{ (1,0) \}\, \cup \, \{ (x,y) \in S^1 \mid y > 0 \} $$ no es un abierto del plano, puesto que cualquier bola de centro $(1,0)$ contienen puntos con la segunda coordenada negativa.