Continuidad por convergencia en espacios métricos

Proposición. Una función entre dos espacios métricos $f: X \to Y$ es continua si, y solo si, la imagen de cualquier sucesión de $X$ convergente a un punto $x\in X$, converge a $f(x)$.

Demostración

$\Rightarrow )$ Supongamos $f$ continua y $(x_n)$ una sucesión convergente a $x$. Por la continuidad en $x$, dada una bola $B(f(x), \varepsilon)$ existe una bola $B(x, \delta)$ cuya imagen está dentro de $B(f(x), \varepsilon)$. Por ser $x$ el límite de $(x_n)$, todos los términos de esta sucesión, a partir de un cierto índice $N$, están en $B(x, \delta)$, $$ x_n \in B(x, \delta), \quad \text{ si } \quad n \geq N \quad\Rightarrow\quad f(x_n) \in f \left( B(x, \delta) \right) \subset B(f(x), \varepsilon), \quad \text{ si } \quad n \geq N $$ Por lo tanto la sucesión $\left( f(x_n)\right)$ converge a $f(x)$.

$\Leftarrow )$ Supongamos ahora que se cumple la condición del enunciado y vamos a demostrar que entonces $f$ es continua en cualquier punto $x$. Realmente lo que vamos a demostrar es el recíproco: Si $f$ no es continua en un punto $x$, existe una sucesión que converge a $x$ pero cuya imagen no converge a $f(x)$.

Para ello observemos que, el que $f$ no sea continua quiere decir que existe una bola $B(f(x), \varepsilon)$ dentro de la cual ninguna bola con centro en $x$ se aplica. En particular, existen puntos en las bolas $B(x, \frac{1}{n})$, con $n$ entero positivo, que no van a $B(f(x), \varepsilon)$: $$ x_n \in B(x, \frac{1}{n}), \qquad f(x_n) \not\in B(f(x), \varepsilon) $$ La sucesión $(x_n)$ converge a $x$ pero la sucesión $\left( f(x_n)\right) $ no converge a $f(x).$