Proposición. Las proyecciones $p_k: \prod_j X_j \to X_k$, definidas por $\, p_k(x_j) = x_k$, son abiertas.
Demostración.
Sea $U_{j_1} \times \dots\times U_{j_m}$ un abierto del producto $\prod_j X_j$.
Su imagen
$$
p_k (U_{j_1} \times \dots \times U_{j_m}) = \left\{ \begin{array}{rcl}
U_k & \text{ si } & k \in \{ j_1, \dots, j_m \} \\
X_k & \text{ si } & k \notin \{ j_1, \dots, j_m \} \end{array}
\right.
$$
es siempre un abierto. Como la imagen de una unión es unión de imágenes, la imagen de
cualquier abierto, es decir, de una unión de conjuntos de este tipo es también
un abierto.