Proposición. Toda aplicación continua entre un espacio compacto y uno Hausdorff es cerrada, es decir, transforma cerrados en cerrados. En particular, si la aplicación es biyectiva se trata de un homeomorfismo.
Demostración
Sea $f: X \to Y$ una aplicación continua entre un espacio compacto $X$ y un
espacio Hausdorff $Y.$ Dado un cerrado $A \subset X$, sabemos que $A$ es
compacto (ver aquí). $f(A)$ es
casi-compacto por ser imagen de un casi-compacto (ver
aquí). Además es $f(A)$
subespacio de un espacio Hausdorff, por lo tanto es cerrado
(ver aquí).
Este resultado lo hemos utilizado ya al poner ejemplos de espacios cocientes. En todos ellos, partíamos de espacios cerrados y acotados de un $\mathbb R^n$, es decir de compactos. Si la imagen estaba en un espacio $\mathbb R^m$, sabemos que es Hausdorff. En caso de que la imagen no estuviera en un $\mathbb R^m$ es necesario comprobar directamente que es Hausdorff.