Proposición. La imagen por una aplicación continua de un espacio $X$ casi-compacto es un casi-compacto.
Demostración
Sea $f: X \to Y$ continua y $X$ casi-compacto. Sea $\{V_j \mid j\in J\}$ un
recubrimiento abierto de $f(X)$. Existen abiertos $U_j$ de $Y$ tales que
$\,V_j = U_j \cap f(X)$. Tenemos
$$
f(X) = \bigcup_j V_j \qquad \Leftrightarrow \qquad f(X) \subset \bigcup_j U_j
\qquad \Rightarrow \qquad
X =\bigcup_j f^{-1}(U_j)
$$
Por la compacidad de $X$ existe un número finito de abiertos $f^{-1}(U_j)$
tales que
$$
X = f^{-1}(U_{j_1}) \cup\dots\cup f^{-1}(U_{j_m}) \quad \Rightarrow\quad
f(X) \subset U_{j_1} \cup\dots\cup U_{j_m}
$$
Lo que demuestra que $f(X)$ es casi-compacto.