Los compactos son normales

Proposición. Todo espacio compacto es normal.

Demostración

Sea $X$ un espacio compacto y $A$ y $B$ dos cerrados disjuntos de $X$. Por ser cerrados de un compacto, $A$ y $B$ son compactos (ver aquí).

Fijemos $a \in A$. Para cada $b \in B$ tomemos entornos abiertos disjuntos $\, a \in U_{a,b}$, $\, b \in V_{a,b}$.

Existe un subrecubrimiento finito del recubrimiento $\,\{V_{a,b} \mid b \in B\}$ de $B$: $$ B \subset V_{a,b_1} \cup \dots\cup V_{a,b_m} =: V_a $$ $ U_a = U_{a,b_1} \cap\dots\cap U_{a,b_m}$ es un entorno abierto de $a$ que no corta a $V_a$. Al variar $a \in A$ se obtiene un recubrimiento de $A$ que tiene un subrecubrimiento finito: $$ A \subset U_{a_1} \cup \dots\cup U_{a_n} =: U $$ La intersección $\,V:= V_{a_1}\cap\dots\cap V_{a_n}$ contiene a $B$ pero no corta a $U$.