Producto de espacios compactos

Proposición. El producto de un número finito de espacios compactos es compacto.

Basta conisderar el caso de dos espacios. La demostración se basa en el siguiente Lema.

Lema del Tubo. Sea $X\times Y$ el producto de dos espacios topológicos, con $Y$ compacto. Sea $\mathcal{W}=\{W_j\,;\,j\in J \}$ un conjunto de abiertos de $X \times Y$ cuya unión contiene $\{x\}\times Y$, $\, x \in X$. Entonces existe un tubo $ U \times Y\,$ que es unión de un número finito de elementos de $\mathcal W$: $$ \{x\}\times Y \subset U \times Y \subset \bigcup_{i=1}^m W_{j_i} $$

Demostración del Lema

Para cada $y \in Y$, escogemos un abierto $W_{(x,y)} \in \mathcal{W}$, que contenga $(x,y)$. Los abiertos del producto son uniones de productos de un abierto de $X$ y un abierto de $Y$; en particular, tenemos entornos abiertos de $x, y$ $$ x \in U_y, \quad y \in V_y, \qquad (x,y) \in U_y \times V_y \subset W_{(x,y)} $$

Los abiertos $V_y$ forman un recubrimiento de $Y$ y, como este espacio es compacto, un número finito de ellos recubre $Y$: $$ Y = V_{y_1}\cup \dots \cup V_{y_m} $$ La intersección $\, U_x = U_{y_1}\cap \dots \cap U_{y_m}$ es un abierto de $X$ que cumple $$ \{x\} \times Y \subset U_x \times Y \subset W_{(x, y_1)} \cup \dots \cup W_{(x, y_m)} $$ Esto acaba la demostración del Lema.

Fin de la demostración.

Variemos ahora $x$. Los abiertos $U_x$ forman un recubrimiento de $X$ y, por tanto, existe un número finito $$ X = U_{x_1} \cup \dots \cup U_{x_n} $$ Como $\, U_{x_i} \times V_{y_j} \subset W_{(x_i, y_j)}$, tenemos que $$ X \times Y = (U_{x_1} \times Y) \cup \dots \cup (U_{x_n} \times Y) = \bigcup_{i,j} U_{x_i} \times V_{y_j} = \bigcup_{i,j} W_{(x_i, y_j)} $$ Es decir un número finito de abiertos de $\mathcal{W}$ recubre $X\times Y$.

Nota. No es difícil comprobar que la condición de que un espacio sea compacto también se puede expresar utilizando cerrados, con solo pasar a complementarios:

Todo recubrimiento abierto tiene un subrecubrimiento finito $\quad\Leftrightarrow\quad$ toda familia de cerrados $\mathcal F \subset \mathcal P(X)$ tal que sus intersecciones finitas sean todas no vacías, tiene intersección (de todos sus elementos) no vacía.

Una demostración de que el producto infinito de compactos es compacto utiliza esta caracterización. Y también utiliza el siguiente Lema.

Lema. Sea $\mathcal F \subset \mathcal P(X)$ tal que sus intersecciones finitas sean todas no vacías. Existe entonces una familia $\mathcal D \supset \mathcal F$ tal que sus intersecciones finitas son todas no vacías y ninguna familia que la contenga cumple también esta propiedad.

La demostración consiste en demostrar que la intersección de las adherencias de los elementos de $\mathcal D$ es no vacía y, por tanto, tampoco lo es la de todos los elementos de $\mathcal F$.

Existen otras demostraciones de que el producto de infinitos compactos es compacto, pero todas utilizan algún resultado que, como el Lema anterior, se derivan del Lema de Zorn. Este Lema y sus consecuencias es un tema muy interesante, que despertó una fuerte controversía en su tiempo, pero que queda fuera de los objetivos de este curso.