Conexos de la recta

Proposición. Un subespacio $X \subset \mathbb R$ es conexo si, y solo si, $X$ es un intervalo: $$ X=(a,b), \quad \text{ó} \qquad X=(a, b], \quad \text{ó} \qquad X= [a, b), \quad \text{ó} \qquad X = [a,b] $$ donde $a, b$ pueden ser $\pm \infty$. Es decir, incluidas las semirectas y todo $\mathbb R = ( -\infty, +\infty)$.

Demostración

$\Rightarrow$ ) Sea $X$ un subespacio conexo de $\mathbb R$. Para todo par $\,x, y\in X$, el intervalo $\,[x, y]\subset X\,$. En efecto, si $\,z \in [x, y]$ no estuviera en $X$ $$ X = \left( (-\infty , z) \cap X \right) \cup \left( (z, +\infty) \cap X \right), $$ es decir, $X$ sería unión de dos abiertos disjuntos en contra del hecho de que lo hemos supuesto conexo. Por lo tanto, si $a$ y $b$ son el ínfimo y el supremo respectivamente de $X$, $\,X$ es el intervalo determinado por estos puntos (cerrado, abierto o semiabierto, según $X$ contenga $a$ y/o $b$).

$\Leftarrow$ ) Supongamos ahora que $X$ es un intervalo (cerrado, abierto o semiabierto) con extremos $a$ y $b$. Si $X$ no fuera conexo $$ X= H \cup K, \qquad H \cap K= \emptyset, \qquad H \mbox{ y } K \text{ abiertos y cerrados no vacíos de } X $$ Tomemos $x\in H$, $z\in K$. Supongamos que $\, x < z $ (en caso contrario podemos cambiar el nombre de los conjuntos). Por ser $X$ un intervalo, $\,[x, z] \subset X$. Consideremos $$ y := \sup \{ t \in [x, z] \,;\, t \in H \} \, < \, z $$ $y$ es adherente a $H$ y, como $H$ es un cerrado de $X$, $\,y \in H$. Ahora bien, $H$ tambíen es abierto y, por tanto, existe un $\varepsilon$ tal que $\, (y - \varepsilon, y + \varepsilon) \cap X \subset H$. Esto contradice el hecho que $y$ sea el supremo de los puntos de $H$ menores que $z$.