Ejemplo de espacio conexo no arco-conex

Sea $\, A = \{ (x, \sin{\frac{\pi}{x}}) \mid x \in (0, \infty) \}$. El espacio $\, X = A \cup \{(0,0)\}$ no es arco-conexo.

Demostración

Vamos a demostrar que todos los caminos con origen en $(0,0)$ son constantes y, por tanto, no pueden unir este punto con ninguno de $A$. Sea $$ \omega: [0,1] \longrightarrow X, \qquad \omega(0) = (0,0) $$ La demostración consiste en ver que el conjunto $B = \{ t \in [0,1] \mid \omega(t)= (0, 0) \}$, es abierto y cerrado en $[0,1]$. Como este intervalo es conexo sus únicos subespacios abiertos y cerrados son el vacío (pero $B$ no lo es) y el total. Por tanto $B = [0,1]$.

$B$ es cerrado porque es la antiimagen del cerrado $\{(0,0)\}$.

Para demostrar que $B$ es abierto tenemos que probar que todo $t_0 \in B$ tiene un entorno de puntos que también se aplican en $(0,0)$.
Por la continuidad de $\omega$, existe un intervalo $U=(t_0-\delta, t_0 +\delta) \cap [0,1]$ tal que $\omega(U) \subset B\left( (0,0), \frac13 \right)\cap X$

Supongamos que un punto $t \in U \cap [0, 1]$ no se aplica en $(0,0)$: $\omega(t) = (t, \sin{\frac{\pi}{t}}) \not= 0$. Existe siempre un $$ 0 < b < t, \qquad \sin{ \frac{\pi}{b}} = 1, \qquad (\text{tomar un entero positivo } \; k \; \text{ tal que } \, b = \frac{2}{1+4k} < t) $$ La vertical $ x = b$ determina dos semiplanos abiertos cuyas intersecciones con $\,B\left( (0,0), \frac13 \right)\cap X\,$ son abiertos disjuntos, $V, W$: $$ B\left( (0,0), \frac13 \right)\cap X = V \cup W, \qquad (t, \sin{\frac{\pi}{t}}) \in V, \quad (0, 0) \in W $$ Tomando antiimágenes, obtenemos dos abiertos disjuntos cuya unión es U $$ U = \omega^{-1}(V) \cup \omega^{-1}(W) $$ lo cual no puede ser cierto porque $U$ es conexo. Así pues todos los puntos de $U$ se aplican en $(0,0)$, como queríamos demostrar.