Caracterización de espacios Hausdorff

Proposición. Un espacio topológico $(X, \tau)$ es Hausdorff si, y solo si, la diagonal $\Delta = \{ (x,x) \in X \times X \mid x \in X \}$ es un subconjunto cerrado del producto $X \times X$.

Demostración

$\Rightarrow$) Supongamos que $X$ es Hausdorff. Veamos que $\Delta$ es cerrado, es decir, que su complementario es abierto. Tomemos un punto de este complementario $(x,y) \in X\times X \setminus \Delta$, con $x\not= y$. Por ser $X$ Hausdorff, existen abiertos $U, V$ disjuntos, tales $x\in U$, $\,y \in V$. El conjunto $U\times V$ es un abierto de $X\times X$ sin puntos en $\Delta$.

$\Leftarrow$) Supongamos ahora que $\Delta$ es cerrado. Dados $x \not= y$, el punto $(x,y)\not\in \Delta$ tiene un entorno abierto $W \subset X\times X \setminus \Delta$. Por la definición de la topología producto, existen abiertos $U$, $V$ tales que $(x,y) \in U\times V \subset W$. En particular, $U\times V$ no corta a la diagonal $\Delta$, lo que equivale a que todos sus puntos $(x',y') \in U\times V$ tienen $x'\not= y'$. Es decir, $U$ y $V$ no tienen ningún punto en común.