Los intervalos cerrados son compactos

Proposición. Los intervalos cerrados $[a,b] \subset \mathbb R$ son compactos.

Demostración

Sea $\{U_j\}_j$ un recubrimento abierto de $[a,b]$ y sean $V_j$ abiertos de $\mathbb{R}$ tales que $U_j = V_j \cap [a,b]$. Consideremos el conjunto $$ S= \{ x\in [a,b] \mid [a,x] \text{ está contenido en la unión de un número finito de los } \,\, U_j\, \}. $$ En particular, $a \in S$. Además, si $c \in S$, entonces $[a,c] \subset S$.

$S$ es un conjunto acotado y, por tanto, existe un supremo $d = \sup{S}$. La demostración consiste en ver que $d=b$. En efecto, escojamos un abierto del recubrimiento que contenga $d$: $$ d \in U_k = V_k \cap [a,b] $$ Si $\,d < b$, existe $\epsilon > 0$ tal que $$ d \in (d-\epsilon, d+\epsilon) \subset V_k \qquad \text{y} \qquad d+\epsilon < b $$

Por otra parte, como $d = \sup{S}$, existeix un $\,c\in S$, tal que $\,d-\epsilon < c \leq d$. El intervalo $[a,c]$ está contenido en la unión de un número finito de abiertos $U_j$: $$ [a,c] \subset U_{j_1} \cup \dots \cup U_{j_m} \quad\Rightarrow\quad [a, d + \frac{\epsilon}{2}] \subset U_{j_1} \cup \dots \cup U_{j_m} \cup U_k, \qquad U_k = V_k \cap [a,b] $$ Pero esto significaría que $\,d+ \frac{\epsilon}{2} \in S$, en contra de que $d$ sea el supremo. Por tanto, no es posible que $d < b$; tiene que ser $d=b$.