Proposición. Un espacio métrico es compacto si, y solo si, toda sucesión tiene una parcial convergente.
Demostración
$\Rightarrow$). Sea $(X, d)$ un espacio métrico compacto.
Dada una successión $(x_n)$, definimos conjuntos
$$
F_k = \{x_k, x_{k+1}, \dots\}, \qquad k \in \mathbb{N}
$$
Las intersecciones finitas de estos conjuntos son siempre no vacías, y también
lo serán las intersecciones finitas de sus adherencias. Consideremos los abiertos
$U_k = X \setminus \overline{F}_k$. Ningún número finito de estos abiertos
recubre $X$:
$$
\bigcup_{j=1}^m U_{k_j} = X \setminus \bigcap_{j=1}^m \overline{F_{k_j}} \not= X
$$
Como $X$ es compacto, esto implica que $\{ U_k \mid k \in \mathbb N\}$ no es un
recubrimiento de $X$, es decir que existe un punto
$x \in \bigcap_{k \in \mathbb N} \overline{F_k}$. Vamos a ver que $x$ es límite
de una sucesión parcial de $(x_n)$.
Por hipótesis, $x$ tiene una base de entornos numerable,
$\{ N_n \mid n \in \mathbb N\}$, y también una base de entornos contenidos
cada uno en el siguiente.
$$
B_1=N_1 \subset B_2 = N_1\cap N_2 \subset B_3 = B_2 \cap N_3 \subset\quad
\dots \quad\subset B_n = B_{n-1} \cap N_n \subset\quad \dots
$$
Además $x$ está en la adherencia de todos los $F_k$.
Podemos pues escoger puntos de la sucesión $(x_n)$ de la siguiente
forma
$$
x_{n_1} \in B_1 \cap F_1, \quad x_{n_2} \in B_2 \cap F_{n_1+1}, \quad
x_{n_3} \in B_3 \cap F_{n_2+1}, \quad\dots\quad ,
x_{n_j} \in B_j \cap F_{n_{j-1}+1}, \dots
$$
Es decir, un punto de $(x_n)$ en cada $B_n$, cada uno en una posición más
avanzada que el anterior. La sucesión $(x_{n_j})$ es una parcial
que converge a $x$.
$\Leftarrow$). Para demostrar esta implicación vamos a suponer ya conocida la existencia del número de Lebesgue $\delta$ para un recubrimiento dado $\{U_j \mid j \in J\}$ (ver aquí).
Supongamos que $X$ no fuera compacto. Eso querría decir que existe un recubrimiento $\mathcal U = \{U_j \mid j \in J\}$ que no tiene ningún subrecubrimiento finito. Escogemos puntos centros de bolas de radio $\delta$ de la siguiente forma: puntos que tengan una bola de radio $\delta$ en uno de los abiertos del recubrimiento, pero que no estén contenido en los abiertos que ya hayan aparecido $$ \begin{array}{l} x_1 \in B(x_1, \delta) \subset U_{j_1} \\ x_2 \notin U_{j_1}, \quad x_2 \in B(x_2, \delta) \subset U_{j_2} \\ x_3 \notin U_{j_1}\cup U_{j_2}, \quad x_3 \in B(x_3, \delta) \subset U_{j_3} \\ \dots \\ x_n \notin U_{j_1}\cup\dots\cup U_{j_{n-1}}, \quad x_n \in B(x_n, \delta) \subset U_{j_n} \\ \dots \end{array} $$ y, como $\mathcal U$ no tiene ningún subrecubrimiento finito, podemos ir tomando puntos indefinidamente Como siempre $d(x_i, x_j) > \delta$, la sucesión $(x_n)$ no tiene ninguna parcial convergente. Eso quiere decir que no podemos suponer $X$ no compacto.