Número de Lebesgue

Proposición. Sea $(X, d)$ un espacio métrico que cumple que toda sucesión tiene una parcial convergente. Entonces, dado un recubrimiento abierto del espacio $\,\mathcal U = \{ U_j \mid j \in J\}$, existe un real $\delta$ tal que cualquier bola de radio $\delta$ está contenida en alguno de los abiertos $U_j$. $\,\delta$ se dice que es un número de Lebesgue del recubrimiento $\mathcal U$.

Demostración

Vamos a ver que suponer que no existe número de Lebesgue lleva a una contradicción.

Empezamos por construir una sucesión $(x_n)$ tomando puntos $x_n$ tales que la bola $B(x_n, \frac{1}{n})$ no esté en ningún abierto de $\mathcal U$. Por hipótesis, esta sucesión tiene una parcial convergente; sea $(x_{n_i})$ con límite $x$.

$x$ está en algún abierto: $\, x \in U_k$. Tomemos una bola de centro $x$ en este abierto: $\, x \in B(x, \epsilon) \subset U_k$. Todos los puntos de la sucesión parcial están, a partir de un índice $n_N$, en $\, B(x, \frac{\epsilon}{2})$. Tomemos $n_j > n_N$ suficientemente grande para que $\frac{1}{n_j} < \frac{\epsilon}{2}$. Entonces, la bola $B(x_{n_j}, \frac{1}{n_j})$ estaría contenida en un abierto del recubrimiento, en contra de como la hemos escogido. $$ B(x_{n_j}, \frac{1}{n_j}) \subset B(x_{n_j}, \frac{\epsilon}{2}) \subset B(x, \epsilon) \subset U_k $$