Proposición. El producto de un número finito de espacios localmente conexos es localmente conexo.
Demostración
Basta demostrarlo para el producto de dos espacios; iterando tendremos que
es cierto para cualquier número finito de espacios.
Sean $X$ y $Y$ espacios localmente conexos y sea $W$ un entorno de $(x,y) \in X\times Y$. Existen abiertos $U$ y $V$ de $X$ y $Y$ respectivamente tales que $(x,y) \in U \times V \subset W \subset X \times Y$. Por ser $X$ y $Y$ localmente conexos, existen entornos conexos $N$ y $M$: $$ x \in U' \subset N \subset U, \qquad y \in V' \subset M \subset V $$ con $U'$ y $V'$ abiertos. De donde $$ (x,y) \in U' \times V' \subset N \times M \subset U \times V \subset W, $$ $N \times M$ es conexo por ser producto de conexos.