Proposición. El conjunto de racionales $\mathbb{Q}$ no es localmente compacto.
Demostración
Basta ver que cualquier abierto $V \subset \mathbb Q$ es no compacto.
$V$ contiene la intersección de un intervalo
abierto de $\mathbb R$ con $\mathbb Q$: $\, V \supset (a,b) \cap \mathbb Q$.
Tomemos en $(a,b)$ una sucesión de números irracionales
$\, a < r_1 < r_2 < \dots < r_n < \dots\,$ con límite un irracional $ s < b$.
Los abiertos
$$
(- \infty, r_1) \cap V, \qquad (r_j, r_{j+1}) \cap \mathbb Q, \quad
j \in \mathbb N , \qquad (s, + \infty) \cap V
$$
forman un recubrimiento de $V $ sin ningún subrecubrimiento finito.