Curso básico de Topología

Irene Llerena

CampoTeruel

Bases y subbases


En los espacios métricos hemos definido los abiertos como unión de bolas. Muchas de las propiedades que implican abiertos es posible demostrarlas utilizando solo bolas. Por ejemplo, si necesito demostrar que una función $f: \mathbb R^n \to \mathbb R$ transforma abiertos en abiertos bastará que vea que la imagen de las bolas es abierta.

Sea $(X, \tau)$ un espacio topológico. Una familia de abiertos $\beta \subset \tau$ se dice que es una base de la topología $\tau$ si todo abierto $U \in \tau$ es unión de abiertos de $\beta$.

Generalmente $\beta$ no incluye el conjunto vacío. En estos casos consideramos el vacío como unión de ningún abierto de $\beta$.


Ejemplos

En un espacio métrico las bolas forman una base de la topología asociada. La familia de las bolas de radios $\frac{1}{n}$, $n \in \mathbb N$, también es una base.

En $\mathbb R^n$ las bolas con centros en $\mathbb Q^n$ y radios $\frac{1}{k}$, $\, k \in \mathbb N$, forman una base.

Una base de la topología discreta es la formada por los conjuntos con un solo punto.

Supongamos que $X$ tiene una infinidad de puntos. Fijado cualquier número $N$, el conjunto $\beta$ de los complementarios de conjuntos finitos con más de $N$ puntos forman una base de la topología de los complementarios finitos. En efecto, dado un abierto $U = X \setminus F$, $\; F$ finito, y un punto $\; x \in U$, podemos añadir puntos a $F$ distintos de $x$ hasta que tenga más de $N$. El complementario de este conjunto ampliado, sea $U_x$, contiene a $x$ y está contenido en $U$. Procediendo del mismo modo con todos los puntos de $U$ habremos encontrado abiertos $U_x \in \beta$ tales que $$ U = \bigcup_{x \in U} U_x $$



La definición de base equivale a la siguiente reformulación.

Proposición. Sea $(X, \tau)$ un espacio topológico. $\beta \subset \tau$ es una base si, y solo si, cumple: Para todo abierto $U \in \tau$ y todo $x \in U$, existe $B \in \beta$ tal que $\, x \in B \subset U$.



A partir de las bolas hemos definido la topología de un espacio métrico. Ahora bien, si tenemos un cierto conjunto $X$ y una familia de subconjuntos de $X$, $\mathcal b \subset \mathcal P(X)$, ¿en qué condiciones las uniones de elementos de $\mathcal b$ forman una topología de $X$? La cuestión no es simplemente retórica, se trata de una manera de definir una topología que se aplica en muchas ocasiones.

Proposición. Sea $\mathcal b$ una familia de subconjuntos de $X$. $\mathcal b$ es una base de una topología de $X$ si, y solo si,
1. Para todo $x \in X$ existe un $B \in \mathcal b$, tal que $ x \in B$.
2. Para todo $x \in B_1 \cap B_2$, con $B_1, B_2 \in \mathcal b$, existe $B \in \mathcal b$ tal que $\, x \in B \in B_1 \cap B_2$.

Demostración.



Otra situación que se nos presentará más adelante es la de intentar encontrar una topología en $X$ en la que una cierta familia de subconjuntos de $X$, $\mathcal s \subset \mathcal{P}(X)$, esté formada por abiertos. Naturalmente podemos tomar todo $\mathcal P(X)$, es decir la topología discreta, pero no nos interesa, es preferible tomar la mínima cantidad de abiertos posible. Así que procedemos de la siguiente manera:

Primero añadimos a $\mathcal s$ todas las intersecciones finitas de elementos en $\mathcal s$.

A continuación añadimos todas las uniones, finitas o no, de la familia que hemos formado.

Proposición. Sea $\mathcal s$ una familia de subconjuntos de $X$. La familia de todas las uniones de intersecciones finitas de elementos de $\mathcal s$ es una topología si, y solo si, para todo $x \in X$ existe un $S \in \mathcal s$, tal que $ x \in S$.

Demostración.


Sea $(X, \tau)$ un espacio topológico. Una familia de abiertos $\mathcal S \subset \tau$ se dice que es subbase de la topología $\tau$ si $U \in \tau$ si, y solo si, es unión de intersecciones finitas de subconjunto en $\mathcal S$.


Ejemplos

El conjunto de semirrectas: $\mathcal s = \{ (-\infty, b),\, (a, +\infty) \mid a, b \in \mathbb R \}$ es subbase de la topología usual de $\mathbb R$, ya que los intervalos (que son las bolas de $\mathbb R$) son intersección de dos semirrectas: $\; (a, b) = (- \infty, b) \cap (a, + \infty)$.

Sea $X$ un conjunto cualquiera. La familia $$ \mathcal S = \{ X \setminus \{x\} \mid x \in X \} $$ es una subbase de la topología de los complementarios finitos, ya que, cualquier abierto $U = X \setminus \{x_1, \dots, x_k \}$ es intersección finita de conjuntos de $\mathcal S$: $\; U = \bigcap_{i=1}^k X \setminus \{x_i \}$.



Vamos a acabar con una versión local del concepto de base. Recordemos que se llama entorno de un punto $x$ de un espacio topológico $(X, \tau)$ a un conjunto $N$ si contiene un abierto $U$ que contiene a $x$: $\, x \in U \subset N$.

Sea $(X, \tau)$ un espacio topológico y designemos por $\mathcal N_x$ el conjunto de entornos de un punto $x \in X$. Una familia $\beta_x \subset \mathcal N_x$ se dice que es una base de entornos de $x$ si todo entorno $N$ de $x$ contiene un entorno $B$ de la subfamilia $\beta_x$: $\, x \in E \subset N$.

Ejemplos

En cualquier espacio topológico $X$ los entornos abiertos forman una base de entornos de $x$.

En un espacio métrico $X$ las bolas de centro $x \in X$ y radio $1/n$, con n entero positivo, forman una base de entornos del punto $x$.



Como hemos dicho al principio de esta sección, muchas de las propiedades y de los resultados sobre un espacio topológico basta comprobarlas o demostrarlos sobre alguna base o alguna subbase, y esto aligera mucho las demostraciones. En particular, en general, consideraremos los entornos abiertos; lo que veamos para ellos se verifica para cualquier entorno.