Convergencia

Sea $(x_n)$ una sucesión de puntos de un espacio topológico $X$. Se dice que $(x_n)$ es convergente si existe un punto $p \in X$ tal que, para cualquier entorno abierto $U \ni p$, todos los puntos $x_n$ a partir de un cierto lugar están en $U$; es decir, existe un entero $k$ tal que, para todo $n \geq k$, $x_n \in U$. En este caso, $p$ se llama límite de la sucesión.

Las sucesiones convergentes en $\mathbb R^n$, que son las habituales en Cáculo, tienen un único límite, y eso pasa en cualquier espacio métrico. En efecto, sea $(X, \tau_d)$ el espacio topológico asociado a la métrica $d$ de $X$. Las bolas de radio $r < \frac12\, d(p,q)$ y centros $p$ y $q$, son disjuntas, $\, B(p, r) \cap B(q, r) = \emptyset$, y si los puntos de una sucesión están en una de ellas, a partir de un índice, no pueden estar en la otra a partir de ningún índice.

En otros espacios topológicos la convergencia se puede comportar de manera muy distinta. Veamos que pasa en alguno de los ejemplos que hemos dado, con el objetivo de no dejarnos engañar por el caso de los subespacios de $\mathbb R^n$, si tratamos con espacios topológicos distintos.

Ejemplos

Si $X$ tiene la topología discreta, una sucesión solo converge si a partir de un índice es constante.

Si $X$ tiene la topología grollera todas las sucesiones convergen a todos los puntos.

Supongamos que $X$ tiene la topologia de los complementarios finitos. Supongamos que $(x_n)$ converge a un punto $p$. Para cualquier otro punto $q$, el entorno $X \setminus \{q\}$ de $p$ no contiene $q$. Es decir, a partir de un cierto lugar los términos de la sucesión son distintos de $q$. Dicho de otra forma, cualquier punto distinto de $p$ aparece solo un número finito de veces. Pero ¡atención!, $p$ puede aparecer una infinidad de veces, un número finito de veces, o nunca. Por tanto, tenemos tres situaciones:

Caso 1. Si en $(x_n)$ todos los valores aparecen, com máximo, un número finito de veces, la sucesión converge a cualquier punto del espacio.

Caso 2. Si en $(x_n)$ todos los valores aparecen como máximo un número finito de veces, salvo un valor que aparece una infinidad de veces, este valor es el único límite de la sucesión.

Caso 3. Si en $(x_n)$ más de un valor aparece una infinidad de veces, la sucesión no converge.

Muchas propiedades topológicas de los espacios métricos se pueden caracterizar en términos de convergencia. En particular, el hecho de que un subconjunto sea cerrado.

Proposición. Sea $(X,\tau_{d})$ el espacio topológico asociado a una distancia $d$ de $X$. Un subconjunto $A \subset X$ es cerrado si, y solo si, toda sucesión convergente formada por puntos de $A$ tiene su límite en $A$.

Demostración.