Definición general

Se dice que una aplicación entre espacios topológicos, $f: X \to Y$, es continua en un punto $x\in X$ si para todo abierto $U \ni f(x)$ existe un abierto $V \ni x$ tal que $\, f(V) \subset U$.

Se dice que la función $f$ es continua si la antiimagen de cualquier abierto es un abierto.

Al igual que pasa con espacios métricos, una aplicación es continua si, y solo si, es continua en todos sus puntos.

Proposición. Una aplicación $f: X \to Y$ entre dos espacios topológicos es continua si, y solo si, es continua en todos sus puntos.

Demostración.

Las funciones continuas juegan en Topologia el mismo papel que juegan los morfismos en Álgebra. Los morfismos son funciones que "preservan" las operaciones, lo que se traduce en el hecho de que al operar dos imágenes se obtiene la imagen del resultado de operar los dos elementos. Por ejemplo, la función $f: (\mathbb R, +) \longrightarrow (\mathbb R, \cdot)$, con $\, f(x) = e^x$, es un morfismo puesto que cumple $\, f(x)\cdot f(y) = e^x e^y = e^{x+y} = f(x+y)$.

La manera como una función entre espacios topológicos respeta las topologías es asegurando que la antiimagen de un abierto es un abierto. Aparentemente, para respetar el paralelismo con el caso de los morfismos, podría parecer más natural exigir que la imagen de un abierto fuera un abierto pero, con esa definición, la función constante $f: \mathbb R \to \mathbb R$, $\, f(x) = 0$, para todo $x \in \mathbb R$, no seria continua. En efecto, la imagen del abierto $\mathbb R$ es $\{0\}$ que no es un abierto.

Otra diferencia notable entre morfismos y aplicaciones continuas es que, si un morfismo es biyectivo, la aplicación inversa también es un morfismo. En cambio, si una función continua es biyectiva, la función inversa puede no ser continua.

Ejemplo

Sean $S^1 = \{(x,y) \mid x^2+y^2 = 1 \}$, $\, [0,1) = \{ t\in \mathbb R \mid 0 \leq t < 1 \}$, con las topologias definidas por las distancias usuales del plano y la recta. La función $$ f: [0, 1) \longrightarrow S^1, \qquad f(t) = ( \cos{2\pi t}, \, \sin{2 \pi t}) $$ es continua y biyectiva. Ahora bien, la función inversa no es continua en el punt $(1,0)$. Demostración.

Proposición. Una aplicación es continua si, y solo si, la antiimagen de un cerrado es un cerrado.

Demostración

En particular, si $\mathbb R^n \to \mathbb R^m$ es continua, el conjunto de puntos que se aplican en $0$ es un cerrado.

Proposición. Si $f: X \to Y\,$ y $\, g: Y \to Z\,$ son funciones continuas, la composición $$ g\circ f : X \stackrel{f}{\longrightarrow} Y \stackrel{g}{\longrightarrow} Z, \qquad (g \circ f)(x) := g \left( f(x) \right) $$ es continua.

Si $f$ es continua en el punto $x \in X$ y $g$ es continua en $f(x) \in Y$, entonces $g\circ f$ es continua en $x$.

Demostración

Ejemplos

1. La aplicación identidad $Id: X \to X$ es siempre continua.

2. La aplicación constante $\, f:X \to Y$, $\, f(x) = y_0$ para todo $x \in X$, es continua. En efecto, dado cualquier abierto $V$ de $Y$ tenemos $$ y_0 \in V \quad\Rightarrow\quad f^{-1}(V) = X, \qquad \qquad y_0 \notin V \quad\Rightarrow\quad f^{-1}(V) = \emptyset $$ En los dos casos la antiimagen es abierta.

3. Cualquier función $f: X \to Y$ en un espacio $Y$ con la topología burda es continua, puesto que en esta topología los únicos abiertos son $\emptyset$ y $X$ y tenemos que siempre $\, f^{-1}(\emptyset) = \emptyset$, y $\, f^{-1}(Y) = X$.

4. Cualquier función $f: X \to Y$, donde $X$ tenga la topología discreta es continua, puesto que en esta topología todos los conjuntos son abiertos y, por tanto, cualquier antiimagen es un abierto.

Se dice que una topología $\tau$ de $X$ es más fina que una topología $\rho$ de $X$ si $\,\rho \subset \tau$. Se suele indicar poniendo: $\, \rho \prec \tau$.

Si $\tau$ es cualquier topología de $X$, está claro que $\tau$ es más fina que la topología burda, y menos fina que la topología discreta.
Por otra parte, dada una aplicación $f: X \to Y$, contra más fina sea la topología de $Y$ más difícil será que $f$ sea continua. Y contra más burda sea la topología de $X$ más difícil será que $f$ sea continua.