Otras cosas interesantes

En esta sección hablaremos de las funciones abiertas y de las funciones cerradas, propiedades importantes para determinados resultados, en particular en la construcción de espacios cocientes. Definiremos la convergencia uniforme de funciones sobre un espacio métrico. Su importancia radica en que, si las funciones son continuas, la función límite también lo es.

El concepto de subespacio retracto traduce la posibilidad de extender cualquier función continua sobre el subespacio a todo el espacio. Hablaremos, por último, de la curva de Peano, una curiosa curva continua que llena todo el cuadrado (de hecho existen para cubos de cualquier dimensión).

Aplicaciones abiertas y cerradas

Según hemos visto, los homeomorfismos transforman abiertos en abiertos; y, por lo tanto, transforman cerrados en cerrados. En general, una aplicación continua puede no ser ni cerrada ni abierta. El que una aplicación sea abierta no implica que sea cerrada ni viceversa.

Ejemplos. La proyección del plano sobre la recta: $$ p : \mathbb{R}^2 \longrightarrow \mathbb R,\qquad p(x,y) = x $$ aplica abiertos sobre abiertos. En efecto, las bolas se aplican en intervalos: $\, p\left( B((x,y), r)\right) = (x-r, x+r)$. Por lo tanto, los abiertos de $\mathbb R^2$, que son unión de bolas, se aplican en unión de intervalos abiertos, es decir, en abiertos de $\mathbb R$.
Sin embargo, $p$ no transforma cerrados en cerrados. Por ejemplo, el conjunto $$ A = \{ (x, \ln x) \mid x \in \mathbb R \} $$

es cerrado, ya que es antiimagen de $0$ por la aplicación continua $g: \mathbb R^2 \to \mathbb R$, $\, g(x,y) = y - \ln{x}$ (ver aquí). Sin embargo, $p(A) = (0, +\infty)$ no es un cerrado.

Podemos definir muy fácilmente una aplicación continua que no es ni abierta ni cerrada. Por ejemplo, la identidad (de conjuntos) $\, I: (\mathbb R, \tau) \to (\mathbb R, \tau_g)$, $\, I(x)=x$, donde $\tau$ es la topología usual y $\tau_g$ la topogía burda. La imagen $I(U)$ de un abierto distinto del vacío y de $\mathbb R$ no es un abierto en la topología burda.

Una aplicación entre dos espacios topológicos se dice que es abierta si la imagen de cualquier abierto es siempre un abierto.

Una aplicación entre dos espacios topológicos se dice que es cerrada si la imagen de cualquier cerrado es siempre un cerrado.

Si $f: X \to Y$ es abierta y $A$ es un subconjunto cualquiera de $X$, está claro que $\, f(A^{\circ}) \subset f(A)^\circ$. Análogamente, si $f: X \to Y$ es cerrada y $A$ es un subconjunto cualquiera de $X$, está claro que $\,\overline{f(A)} \subset f(\overline{A})$. De hecho, estas propiedades caracterizan a las aplicaciones abiertas y a las cerradas, respectivamente.

Proposición.
Una aplicación $\quad f:X \to Y\quad$ es abierta $\qquad\Leftrightarrow\qquad f(A^{\circ}) \subset f(A)^\circ \quad\;$ para todo $A\subset X$.
Una aplicación $\quad f:X \to Y\quad$ es cerrada $\qquad\Leftrightarrow\qquad f(\overline{A}) \supset \overline{f(A)} \qquad$ para todo $A\subset X$.

Demostración

Convergencia uniforme

Dada una sucesión de funciones continuas $f_n: X \to Y$ supongamos que, para todo $x \in X$, la sucesión $f_n(x)$ converge. Definamos el límite de $(f_n)$ como la función $f: X \to Y$ tal que $\, f(x) = \lim_n f_n(x)$. En general, $f$ no tiene por qué ser continua.

Ejemplo. La sucesión de las aplicaciones continuas $\, f_n: \mathbb R \to \mathbb R$

$$ f_n(x) = \left\{ \begin{array}{lcc} 0, & \text{ si } & x \leq 0 \\ nx, & \text{ si } & x \in [0, \frac{1}{n}] \\ 1, & \text{ si } & x \geq \frac{1}{n} \end{array} \right. $$

converge a la aplicación $\quad f(x) = \left\{ \begin{array}{lcc} 0, & \text{ si } & x \leq 0 \\ 1, & \text{ si } & x >0 \end{array} \right.\quad \,$ que no es continua.

En los espacios métricos, se puede definir una condición de convergencia más fuerte de forma que la función límite de continuas sea continua.

Se dice que una sucesión de funciones de un espacio topológico $X$ en un espacio métrico $Y$, $f_n: (X, \tau) \to (Y, d)$, converge a una función $f:X \to Y$, si para todo $\,x \in X$ y todo $\, \varepsilon$, existe un índice $\,N$ tal que $$ d\left( f_n(x), \, f(x) \right) < \varepsilon, \qquad \text{ para todo } \, n > N $$ El valor de $N$ depende de $x$ y de $\varepsilon$. Si solo depende de $\varepsilon$, es decir, si para todo $\, \varepsilon$, existe un índice $\,N$ tal que, para todo $x \in X$ se tiene $$ d\left( f_n(x), \, f(x) \right) < \varepsilon, \qquad \text{ para todo } \, n > N $$ entonces se dice que $(f_n)$ converge uniformemente a la función $f:X \to Y$,

Proposición. Si la sucesión de aplicaciones $f_n: X \to Y$, converge uniformemente a $\, f: X \to Y$, entonces $f$ es continua.

Demostración.

Retractos

Sea $A$ un subespacio de un espacio topológico $X$. Se dice que $A$ es un retracto de $X$ si existe una aplicación continua, llamada retracción, $$ r : X \longrightarrow A $$ que deja fijos los puntos de $A$: $\, f(a) = a\,$ para todo $a \in A$.

Ejemplos. Sea $E^2 = \{ (x,y) \in \mathbb R^2 \mid x^2+y^2 \leq 1\}$. Las aplicaciones $r_1: E^2 \setminus \{(0,0)\} \to S^1$, $\, r_2: \mathbb R^2 \longrightarrow E^2$, definidas por $$ r_1(x,y) = \frac{1}{\sqrt{x^2 + y^2}} (x,y), \qquad \qquad r(x,y) = \left\{\begin{array}{ll} (x,y) & \text{ si } & (x,y) \in E^2 \\ \frac{1}{\sqrt{x^2 + y^2}} (x,y) & \text{ si } & x^2+y^2 \geq 1 \end{array} \right. $$ son retracciones. La continuidad de $r_2$ resulta de estar dada por dos aplicaciones continuas sobre dos cerrados que recubren el espacio.

Proposición. Un subespacio $A$ de $X$ es un retracto si, y solo si, toda aplicación continua definida sobre $A$ se extiende a una aplicación continua definida sobre todo $X$.

Demostración.

Curva de Peano

Los subconjuntos cerrados del espacio de Cantor $K$ son retractos de $K$. Este hecho tiene importantes consecuencias y una de ellas es la existencia de una aplicación continua y exhaustiva de intervalo unidad en un cubo de cualquier dimensión $$ I \longrightarrow I^k $$ A estas curvas se les llama curvas de Peano. De hecho, basta construir una para $k=2$, del intervalo en el cuadrado, e iterar. Hay construcciones detalladas en los libros de Munkres, de Dugundji, y de Aguadé mencionados en la Introducción.

La existencia de curvas de Peano contradice la intuición y, sobretodo, pone en cuestión el concepto de dimensión. Sin embargo un punto importante es que la curva de Peano no es inyectiva ni, por tanto, un homeomorfismo.