Axiomas de numerabilidad

Una base de un espacio topológico $(X, \tau)$ es una familia de abiertos, $\beta \subset \tau$, tal que cualquier abierto $U \in \tau$ es unión de abiertos de $\beta$. En los espacios métricos las bolas forman una base. Pero no es necesario tomar todas las bolas, se pueden tomar solo, por ejemplo, las bolas de radios $1/n$, con $n$ entero positivo. Estas bolas forman también una base.

Diremos que un espacio topológico $(X, \tau)$ cumple el segundo axioma de numerabilidad si posee una base numerable.

Ejemplo

Los espacios $\mathbb R^n$ cumplen el segundo axioma de numerabilidad. En efecto, las bolas de centro los puntos con coordenadas racionales, $\mathbb Q^n \subset \mathbb R^n$, y radios $1/m$, con $m$ entero positivo, forman una base numerable. Demostración

Una base de entornos de un punto $x$ de un espacio topológico $(X, \tau)$ es una familia de entornos de $x$ tal que cualquier otro entorno de $x$ contiene uno de esta familia.

Diremos que un espacio topológico $(X, \tau)$ cumple el primer axioma de numerabilidad si todos sus puntos poseen una base de entornos numerable.

Ejemplo

Todos los espacios métricos cumplen el primer axioma de numerabilidad. En efecto, las bolas de radio $1/m$, con $m$ entero positivo, forman una base de entornos de $x$.

Si $\{N_n \mid n\in \mathbb N \}$ es una base de entornos numerable de $x$, los conjuntos $$ B_1 = N_1 \supset B_2 = N_1 \cap N_2 \supset \dots \supset B_n = N_1 \cap \dots \cap N_n \supset \dots $$ forman también una base de entornos numerable de $x$. Así pues, podemos suponer siempre que la base de entornos está formada por entornos contenidos cada uno en el anterior.

Si se cumplen los axiomas de numerabilidad, muchas de las propiedades topológicas del espacio se puede caracterizar en términos de convergencia de sucesiones. Veamos algunas.

Proposición. Sea $A$ un subconjunto de un espacio topológico $X$.

Si $A$ es cerrado, los puntos límite de las sucesiones convergentes de puntos de $A$ están en $A$.

Si $X$ cumple el primer axioma de numerabilidad y los límites de todas las sucesiones convergentes de puntos de $A$ están en $A$, entonces $A$ es cerrado.

Demostración

Proposición. Sea $f: X \to Y$ una función entre dos espacios topológicos.

Si $f$ es continua y $(x_n)$ es una sucesión de $X$ convergente a un punto $x$, entonces $(f(x_n))$ converge a $f(x)$.

Si $X$ cumple el primer axioma de numerabilidad y $f$ cumple que, para toda sucesión $(x_n)$ de $X$ convergente a un punto $x$, la sucesión $(f(x_n))$ converge a $f(x)$, entonces $f$ es continua en $x$.

Demostración

De hecho estas caracterizaciones se toman a menudo como definición de cerrado y de continuidad en Cálculo.