Propiedades de conexidad

El concepto de conexidad se refiere al hecho de que el espacio conste de uno o de varios "trozos". Ahora bien ¿qué significa un "trozo"? Intuitivamente, el subespacio $A \cup B$ de la figura tiene dos trozos y el subespacio $C \cup D$ solo uno (aunque $C$ y $D$ los tomamos disjuntos). En el primer caso los trozos están separados y en el segundo están pegados uno al otro.

Decimos que $A$ y $B$ están separados porque están contenidos en abiertos disjuntos del plano.

Ahora bien, no estamos buscando una definición de subespacios separados del plano, o de cualquier otro espacio topológico, sino la definición de trozos de un espacio, es decir una definición que solo dependa de $A \cup B$ y no del espacio donde puedan estar sumergidos. Observemos que tanto $A$ como $B$ son abiertos en $A \cup B$ y, por ser cada uno complementario del otro, también son ambos cerrados.

Esencialmente hay dos maneras de definir la conexidad: la conexidad (sin más) y la arco-conexidad. La primera es la que sugieren las consideraciones que acabamos de hacer.

Un espacio topológico se dice que es conexo si no puede ponerse como unión de dos subespacios abiertos disjuntos, que no sean ni el vacío y ni el espacio total.

En el caso de la arco-conexidad lo que se pide es poder unir dos puntos cualesquiera con un camino sin salirnos del espacio.

Un camino, o arco, en un espacio $X$ es una aplicación continua $$ \omega: [0,1] \longrightarrow X $$ Los puntos $\omega(0)$ y $\omega(1)$ se llaman extremos del camino $\omega$; $\,\omega(0)$ es el origen y $\omega(1)$ es el final. Si $\omega(0) = \omega(1)$ se dice que el camino es cerrado.

Se llama camino inverso del camino $\omega$ al camino $$ \omega^{-1}(t) = \omega(1-t) $$ Se llama composición del camino $\omega$ y el camino $\rho$ al camino $$ \omega \rho (t) = \left\{ \begin{array}{lcl} \omega(2 t), & \text{ si } & 0 \leq t \leq \frac12 \\ \rho(2t-1), & \text{ si } & \frac12 \leq t \leq 1 \end{array} \right. $$ Para que esté bien definido es necesario que $\omega(1) = \rho(0)$. En ese caso, $\omega\rho$ es continua porque lo es en dos cerrados que recubren $[0, 1]$. (Ver aquí.)

La variable $t$ suele interpretarse como el tiempo. Así la composición $\omega\rho$ recorre los trayectos de $\omega$ y $\rho$ sucesivamente, a doble velocidad. El camino inverso $\omega^{-1}$ recorre el mismo trayecto que $\omega$, a la misma velocidad, pero partiendo de $\omega(1)$.

Un espacio topológico se dice que es arco-conexo si para cualquier par de puntos existe un camino que los tiene como extremos.

El resultado que sigue nos dice cuales son los subespacios conexos de la recta.

Proposición. Un subespacio $X \subset \mathbb R$ es conexo si, y solo si, $X$ es un intervalo (abierto, semiabierto o cerrado): $$ X=(a,b), \quad \text{ó} \qquad X=(a, b], \quad \text{ó} \qquad X= [a, b), \quad \text{ó} \qquad X = [a,b] $$ donde $a, b$ pueden ser $\pm \infty$. Es decir, incluidas las semirectas y todo $\mathbb R = ( -\infty, +\infty)$.

Demostración

Todos los conexos de $\mathbb R$ son también arco-conexos. En efecto, si $a, b$ son puntos de un intervalo $I$, $$ \omega: [0,1] \longrightarrow [a, b] \subset I, \qquad \omega(t) = (b-a)t + a $$ es un camino con extremos los puntos $a$ y $b$.

Ejemplo

Consideremos los siguientes subespacios del plano $$ X = \{ (x, \sin{\frac{\pi}{x}}) \mid x \in (0, \infty) \} \cup \{(0, 0)\}, \qquad Y = \{ (x, x\sin{\frac{\pi}{x}}) \mid x \in (0, \infty) \} \cup \{(0, 0)\} $$

La parte sinusoidal $A = \{ (x, \sin{\frac{\pi}{x}}) \mid x \in (0, \infty) \}$ de $X$ es homeomorfa a una semirrecta: $$ A = \{ (x, \sin{\frac{\pi}{x}}) \mid x \in (0, \infty) \} \stackrel{p}{\longrightarrow} (0, +\infty), \qquad p(x, \sin{\frac{\pi}{x}}) = x $$ y por tanto es conexa y también arco-conexa. Pero ¿qué pasa al añadirle el origen? ¿Es $X$ conexo? Demostraremos que sí un poco más abajo (como consecuencia de que $(0,0)$ es de la adherencia de $A$). ¿Es $X$ arco-conexo? No lo es porque, si un camino tiene origen en un punto de $A$, al intentar aproximarse a $(0, 0)$, irá subiendo y bajando continuamente entre las ordenadas $+1$ y $-1$ sin llegar nunca a mantenerse en un entorno dado de $(0,0)$. Ver aquí la demostración en lenguaje matemático.

En el caso del espacio $Y$, la proyección de la parte sinusoidal sobre la semirrecta $(0, +\infty)$ sigue siendo un homeomorfismo, pero la proyección de todo $Y$ es también un homeomorfismo, en este caso sobre la semirrecta cerrada $$ Y = \{ (x, x \sin{\frac{\pi}{x}}) \mid x \in (0, \infty) \} \stackrel{p}{\longrightarrow} [0, +\infty), \qquad p(x, \sin{\frac{\pi}{x}}) = x $$ y por tanto $Y$ es conexo y arco-conexo. En este caso, la proyección es continua también en el punto $(0,0)$ ya que la curva no sube y baja entre $+1$ y $-1$ como en el caso anterior. En particular, en este caso la imagen de cualquier sucesión de puntos de $Y$ que tienda a $(0,0)$ es una sucesión de puntos que tiende a $0$, y esto implica continuidad en $(0,0)$. (Ver aquí.)

Proposición. 1. Sea $C$ un subespacio conexo de un espacio $X$. Todo subespacio $A$ obtenido a partir de $C$ añadiendo puntos adherentes, es decir tal que $C\subset A \subset \bar{C}$, es también conexo.

2. Si $\{C_j\,|\,j\in J\}$ es una familia de subespacios conexos de $X$ tal que uno de los subespacios, $C_{j_0}$ corta a todos los demás, $ C_j \cap C_{j_0} \not= \emptyset$, $\, j \in J$, entonces $\bigcup_j C_j$ es conexo.

3. Si $\{C_j\,|\,j\in J\}$ es una familia de subespacios arco-conexos de $X$ tal que uno de los subespacios, $C_{j_0}$ corta a todos los demás, $ C_j \cap C_{j_0} \not= \emptyset$, $\, j \in J$, entonces $\bigcup_j C_j$ es arco-conexo.

Demostración de 1 y 2 . Demostración de 3.

Ya hemos visto que subespacios de uno conexo pueden no serlo: $(0,1) \cup (2,3)$ no es conexo pero está contenido en $(0,3)$ que sí es conexo. Respecto a la conservación de la conexidad y arco-conexidad por productos e imágenes continuas, tenemos los siguientes resultados.

Proposición. 1. La imagen de un espacio conexo por una aplicación continua es conexa. En particular, el espacio cociente de un espacio conexo es conexo.

2. La imagen de un espacio arco-conexo por una aplicación continua es arco-conexa. En particular, el espacio cociente de un espacio arco-conexo es arco-conexo.

Demostración de 1 . Demostración de 2.

De este resultado se deduce que todo espacio arco-conexo $Y$ es conexo. En efecto, construimos caminos $\omega_z$ desde uno prefijado $y$ a todos los demás $z \in Y$ y unimos sus trayectos (es decir, sus imágenes). Entonces, $$ Y = \bigcup_{z\in Y} \omega_z([0, 1]) $$ Cada $\omega_z([0, 1])$ es conexo, por ser imagen de un conexo, y todos contienen el punto $y$.

Proposición. 1. El producto de espacios es conexo si, y solo si, todos los espacios son conexos.

2. El producto de espacios es arco-conexo si, y solo si, todos los espacios son arco-conexos.

Demostración de 1. Demostración de 2.

Ejemplo

Los espacio $\mathbb R^n$ son conexos y arco-conexos.

La conexidad, como cualquier otra propiedad topológica, sirve para probar que dos espacios no son homeomorfos. Veamos un caso. Supongamos que existiera un homeomorfismo $h$ $$ h: \mathbb R \stackrel{\cong}{\longrightarrow} \mathbb R^n \qquad\Rightarrow\qquad h': \mathbb R\setminus \{0\} \stackrel{\cong}{\longrightarrow} \mathbb R^n \setminus \{h(0)\} $$ La restricción $h'$ también sería un homeomorfismo. Pero $\mathbb R \setminus \{0\} = (-\infty, 0) \cup (0, +\infty)$ no es conexo y $\mathbb R^n \setminus \{h(0)\}\,$ sí lo es (puesto que es arco-conexo). Por tanto $\mathbb R \not\cong \mathbb R^n$, si $n \geq 2$.

Desgraciadamente no podemos utilizar un razonamiento similar para probar que dos espacios $\mathbb R^n$, $\mathbb R^m$, con dimensiones distintas $n, m \geq 2$, no son homeomorfos, puesto que al suprimir un punto los dos continuan siendo conexos. Necesitamos otras propiedades, distintas de la conexidad, para probar que no son homeomorfos.

Teorema de Bolzano. Sea $f: [a, b] \to \mathbb R$ una aplicación continua. Para cualquier valor $y$ comprendido entre $f(a)$ y $f(b)$, existe un $x \in [a,b]$ tal que $f(x) = y$.

Demostración.

Al introducir esta sección hemos hablado de los "trozos" de un subespacio, pero no hemos definido que es un trozo. Veamos unos ejemplos.

Ejemplos

1. El subespacio $X=(0,1) \cup [2,4]$ de $\mathbb R$ no és conexo. En efecto, tanto $(0,1)$ como $[2,4] = (1, 5) \cap X$ son simultáneamente abiertos y cerrados en $X$ (no en $\mathbb R$). $X$ es pues unión de dos trozos conexos.

2. El espacio $A = \{0\} \cup \{ 1/n \mid n \in \mathbb N \}$ no es conexo puesto que, por ejemplo, $B = \{0\} \cup \{ 1/n \mid n \in \mathbb N, \, n > 1 \}$ y $\{1\}$ son abiertos de $A$ y $A = B \cup \{1\}$. No es tan inmediato contestar a la pregunta de cuantos trozos tiene $A$, puesto que cualquier entorno de $0$ contiene infinidad de puntos de $A$.

3. El conjunto de los números racionales, $\mathbb Q$, no es un espacio conexo. En efecto, sea $x$ un número irracional $x \in \mathbb R \setminus \mathbb Q$. Los subconjuntos de $\mathbb Q$ $$ A= (- \infty, x) \cap \mathbb Q = (-\infty, x] \cap \mathbb Q, \qquad B = (x, + \infty) \cap \mathbb Q = [x, +\infty) \cap \mathbb Q $$ son complementarios y ambos abiertos y cerrados. De nuevo surge la pregunta de cuantos trozos conexos tiene $\mathbb Q$. De hecho estos trozos se denominan componentes y los vamos a definir ahora.

Se llama componente conexa de un punto $x$ a la unión de todos los subespacios conexos que lo contienen.

Se llama componente arco-conexa de un punto $x$ a la unión de todos los subespacios arco-conexos que lo contienen.

La componente conexa $C_x$ de un punto $x \in X$ es conexa, puesto que es unión de subespacios conexos que contienen $\{x\}$. Y, naturalmente, es el "mayor" conexo que contiene a $x$, en el sentido que todo otro conexo que contenga $x$ está contenido en $C_x$. En particular es cerrado puesto que su adherencia es conexa.

La componente arco-conexa $AC_x$ de un punto $x \in X$ es arco-conexa, puesto que es unión de subespacios arco-conexos que contienen $\{x\}$. Y, naturalmente, es el "mayor" arco-conexo que contiene a $x$, en el sentido que todo otro subconjunto arco-conexo que contenga $x$ está contenido en $AC_x$. Las componentes $AC_x$ pueden no ser cerrados.

Ejemplos

El espacio $X=(0,1) \cup [2,4]$ tiene dos componentes conexas $(0,1)$ y $[2,4]$ que también son arco-conexas.

Las componentes conexas (y arco-conexas) del espacio $A = \{0\} \cup \{ 1/n \mid n \in \mathbb N \}$ tienen todas un solo punto. Ningún conjunto que contenga a $0$ es conexo, salvo el propio $\{0\}$. Los puntos $\{ 1/n \}$ son abiertos y cerrados. El punto $\{ 0\}$ es cerrado pero no abierto.

Análogamente, las componentes conexas y arco-conexas de $\mathbb Q$ son los conjuntos con un solo punto; todos ellos son cerrados pero no abiertos.

El espacio $\,X = A \cup \{(0,0)\}$, con $\,A=\{ (x, \sin{\frac{\pi}{x}}) \mid x \in (0, \infty) \}$ tiene un única componentes conexa y dos arco-componentes, $A$ y $\{(0,0)\}$. $A$ es abierto pero no cerrado; $\{(0,0)\}$ es cerrado pero no abierto.

El espacio $\, Y = \{ (x, x\sin{\frac{\pi}{x}}) \mid x \in (0, \infty) \}\,$ tiene una única componente conexa que también es arco-conexa.