Los grupos de homotopía y de homología

Irene Llerena


Introducción


Estas notas están pensadas para aquellos que estén interesados, o simplemente sientan curiosidad, en saber algo sobre los grupos de homotopía y los grupos de homología pero adentrándose lo mínimo en demostraciones y tecnicismos. Pretenden contestar preguntas del estilo: ¿qué son? ¿para qué sirven? ¿cuales son las herramientas de cálculo?

Creo que, para que las notas sean realmente útiles, es necesario dar las definiciones y enunciar la propiedades de forma rigurosa, sin ambigüedades. En cambio he suprimido prácticamente todas las demostraciones. He incluido ejemplos y observaciones que ayuden a visualizar los aspectos geométricos e ilustren y, hasta cierto punto, hagan lógicas y previsibles las propiedades que se explican. Pero no hay que olvidar que en Matemáticas todas las afirmaciones necesitan una demostración. Es la gran diferencia entre las Ciencias y las Humanidades: en las primeras solo son aceptables las afirmaciones que se demuestran con rigor objetivo. Para mantener presente este hecho, en muchas ocasiones insisto en que lo que acabo de afirmar necesita una demostración, por muy natural que parezca la afirmación. Pero aquí las omito ya que la intención es solo informativa, familiarizarse con los conceptos e intuir el comportamiento.

Las notas empiezan con unas nociones sobre conexidad que me sirven para motivar las definiciones posteriores de los grupos de homotopía. A continuación hay una parte dedicada a los grupos de homotopía y una última parte dedicada a los grupos de homología. Cada parte termina con unas preguntas tipo test que sirvan para comprobar la capacidad de intuir correctamente la respuesta. No son propiamente problemas, puesto que no se han dado herramientas para resolverlos.

He intentado mantener un nivel muy elemental. Cualquier lector con un primer curso de una carrera científica debería ser capaz de seguir las notas sin problemas. Si su lectura despierta el interés por profundizar en la materia, mejor que mejor. Textos hay muchos y muy buenos. Las nociones básicas de Topología (abiertos, continuidad, homeomorfismos,...) se pueden ampliar en el Curso Básico de este mismo sitio, o bien en los Apuntes. Los grupos de Homotopia y Homología se pueden encontrar en los libros que incluyen una introducción a la Topología Algebraica. Por ejemplo:

Topology and Its Applications William F. Basener (2006)

Algebraic Topology A. Hatcher (2002)

Algebraic Topology C.R.F. Maunder (1996)

Topology: A first Course J. R. Munkres (1a edición 1974)

Elements of Algebraic Topology J.R. Munkres (1984)

Topología Algebraica V. Navarro y P. Pascual (1999)

Algebraic Topology: notes N.P. Strickland (2002)

Algunos de estos se pueden descargar de Internet.