Los grupos de homotopía y homología

Irene Llerena


Conexidad


Introducción


En Matemáticas conexo significa que solo tiene un trozo. Pero ¿qué es un trozo? Un trozo es una parte separada del resto. Pero ¿qué significa "separada"? Podríamos intentar relacionar separación con distancia pero no es una buena idea. Por ejemplo, si en una hoja de papel, un rectángulo, suprimimos una recta nos quedan dos trozos. Ahora bien, hay puntos a uno y otro lado de la recta tan próximos como queramos: la distancia entre los dos trozos es cero.

En Matemáticas, como en cualquier otra ciencia, lo primero que hay que fijar de forma clara es cuales son los objetos de estudio. En el caso de la conexidad los objetos son los espacios topológicos. De momento pensemos solo en espacios euclideos $\mathbb R^n$ y subconjuntos de estos espacios. O pensemos, algo más en general, en espacios métricos. Fijados los objetos, que en adelante llamaremos espacios, hay varias maneras de definir la conexidad.


Abiertos y cerrados


La definición de la conexidad ordinaria se basa en el concepto de abierto.

Una bola abierta de un espacio $X$, de radio $r,$ centrada en un punto $p \in X$ es el conjunto de puntos $x \in X$ que distan de $p$ menos de $r:$ $$ B_X(p, r) := \{x \in X \mid d(p, x) < r \} $$ Llamamos abierto en $X$ a cualquier subconjunto $A \subset X$ formado por unión de bolas abiertas de $X$. Equivalentemente, si todo punto de $A$ es centro de una bola de $X$ contenida en $A$.

Un subespacio $F \subset X$ se llama cerrado en $X$ si su complementario $ X \setminus F$ (los puntos de $X$ que no están en $F$) es abierto de $X$.

Supongamos que el espacio es la recta $\mathbb R$. En este caso las bolas abiertas son intervalos $B_{\mathbb R}(p, r) = \{ x \in \mathbb R \mid p-r < x < p+r \}$. Así pues, los siguientes subconjuntos de la recta son abiertos: $$ (a, b) := \{ x \in \mathbb R \mid a < x < b \}, \qquad \mathbb R^+ = (0, +\infty), \qquad \mathbb R \setminus \{0\}, \qquad \mathbb R $$ Por convenio, consideramos al vacío $\emptyset$ como abierto, en cualquier espacio $X$. Por lo tanto, el espacio total $X$ es cerrado. Son subconjuntos cerrados de $\mathbb R$ $$ [a, b] := \{ x \in \mathbb R \mid a \leq x \leq b \}, \qquad [0, +\infty), \qquad \{0\}, \qquad \mathbb R $$ Como claramente todo el espacio es siempre abierto, tenemos que el vacío es cerrado. Es decir, el espacio total y el vacío $\emptyset$ son abiertos y cerrados simultáneamente.

El que un conjunto sea abierto o cerrado depende del espacio en que se considere. Como ejemplo tomemos como espacio total a $X = (-5, 10]$. Observemos que ninguna bola de $X$ de centro $10$ coincide con una bola de $\mathbb R$: $$ B_{(-5,10)}(10, \, r) = \{ x \in (-5, 10] \mid d(x, 10) < r \} = B_{\mathbb R}(10, r) \cap (-5, 10] $$ En particular resulta que el subespacio $(9, 10]$ es un abierto en $(-5, 10]$, y su complementario $(-5, 9]$ es un cerrado en $(-5, 10]$.


Las nociones de conexidad de las que vamos a tratar son válidas para cualquier espacio en las que haya una noción de abierto convenientemente definida.

Los espacios topológicos son conjuntos, $X$, en los que hay definida una família $\mathcal A$ de subconjuntos, que se llaman abiertos, y a la que se le exigen solo tres propiedades: 1) $\emptyset$, $X$ son abiertos; 2) la unión de abiertos es abierto; 3) la intersección de un número finito de abiertos es un abierto.

Los espacios euclidianos y, en general los espacios métricos, son espacios topológicos.



Conexidad ordinaria


Diremos que un espacio $X$ es conexo si no se puede descomponer en dos subconjuntos abiertos $X = A \cup B$ disjuntos, es decir sin puntos en común, y no vacíos. Por tanto, $A$ y $B$ serían también cerrados.

Observemos que si $X$ es unión de más de dos subconjuntos abiertos, disjuntos dos a dos, tomando uno de ellos y la unión del resto, lo tendremos como unión de dos abiertos disjuntos $$ X = A_1 \cup A_2 \cup \dots \cup A_k = A_1 \cup B, \qquad B = A_2 \cup \dots \cup A_k $$ Cada $A_i$ es unión de bolas, por tanto $B$ es unión de bolas, es decir, $B$ es abierto.

Los subespacios conexos máximales de un espacio $X$, es decir no contenidos en ningún subespacio mayor conexo, se llaman las componentes conexas de $X$. $X$ es unión disjunta de sus componentes conexas: $X = C_1 \cup C_2 \cup \dots \cup C_k.$


Ejemplos


La recta $\mathbb R$, el plano $\mathbb R^2$ y, en general, todos los espacios $\mathbb R^n$ son conexos. En la recta son conexos todos los intervalos $$ (a, b) = \{x\in \mathbb R \mid a < x < b \} \qquad [a, b] = \{x\in \mathbb R \mid a \leq x \leq b \} $$ $$ (a, b] = \{x\in \mathbb R \mid a < x \leq b \} \qquad [a, b) = \{x\in \mathbb R \mid a \leq x < b \} $$ donde $a$ y $b$ pueden ser $\pm \infty$. De hecho se demuestra que estos son los únicos subconjuntos conexos de la recta.

Pero no siempre está muy claro si un espacio es, o no, conexo. Consideremos, por ejemplo, los siguientes subespacios del plano $$ X = \{ (x, \sin{\frac{\pi}{x}}) \mid x \in (0, \infty) \} \cup \{(0, 0)\}, \qquad Y = \{ (x, x\sin{\frac{\pi}{x}}) \mid x \in (0, \infty) \} \cup \{(0, 0)\} $$

¿Son conexos? ¿Cuales son sus componentes conexas? Las partes sinusoidales $A = \{ (x, \sin{\frac{\pi}{x}}) \mid x \in (0, \infty) \}$ de $X$ y $B = \{ (x, x \sin{\frac{\pi}{x}}) \mid x \in (0, \infty) \}$ de $Y$ son homeomorfas a una semirrecta. El término homeomorfo significa que entre los dos espacios se puede establecer una correspondencia uno-a-uno (biyectiva) tal que a todo abierto del primer espacio le corresponde un abierto del segundo, y viceversa. Esto implica que los espacios homeomorfos tienen las mismas componentes conexas y, en particular, si uno de ellos es conexo el otro también.

Un espacio topológico consiste en un conjunto $X$ y una familia de abiertos $\mathcal A$. La notación matemática es $(X, \mathcal A)$. Todas las propiedades topológicas dependen exclusivamente de $X$ y $\mathcal A$. Si tenemos otro espacio topológico $(Y, \mathcal B)$ y un homeomorfismo $f: X \to Y$, existe también una correspondencia uno-a-uno entre $\mathcal A \leftrightarrow \mathcal B$ que respeta inclusiones, uniones, intersecciones, etc. Esto implica que los dos espacios tienen las mismas propiedades topológicas. Y también que para estudiar las propiedades topológicas de un espacio lo podamos sustituir por cualquier otro homeomorfo, lo que es una práctical habitual en Topología.


Las proyecciones de $A$ y de $B$ sobre la semirecta $(0, \infty)$: $$ (x, \sin{\frac{\pi}{x}}) \mapsto x, \qquad \qquad (x, x \sin{\frac{\pi}{x}}) \mapsto x $$ son homeomorfismos. Podemos extender estas proyecciones a todo $X$ y a todo $Y$ enviando $(0, 0)$ al $0$ de la recta. En el caso de $Y$ se obtiene un homeomorfismo de $Y$ en $[0 + \infty)$, lo que nos asegura que $Y$ es conexo. En cambio en el caso de $X$, aunque se obtiene una biyección, no se trata de un homeomorfismo ya que las bolas centradas en el origen cortan a la sinuosidal $A$ en muchas rayitas verticales que se proyectan en intervalitos disjuntos de la semirrecta.

Sin embargo, a pesar de que $X$ no se proyecta homeomórficamente en la semirrecta, sí es cierto que $X$ es conexo. El motivo es que todas las bolas abiertas con centro en el origen cortan la parte sinusoidal $A$. Por lo tanto, el origen no es un abierto y $X = A \cup \{ (0, 0) \}$ no es una descomposición en dos abiertos. Naturalmente, esto no basta para asegurar que $X$ es conexo, tendríamos que demostra que no existe ninguna otra manera de descomponer $X$ en abiertos disjuntos. Esto es consecuencia del siguiente resultado:

Si todas las bolas abiertas centradas en un punto $p$ cortan a un subespacio conexo $A$, entonces $A \cup \{p\} $ también es conexo.

De este resultado también se deduce que las componentes conexas son cerrados. En cambio no son necesariamente abiertos.



Conexidad por arcos


Hay otra noción la conexidad que en muchas ocasiones es preferible a la dada. Se trata de considerar como espacios conexos aquellos en los que, dado un par de puntos cualesquiera, podemos unirlos por un camino que no se sale del espacio. Volvamos al ejemplo $$ A = \{ (x, \sin{\frac{\pi}{x}}) \mid x \in (0, \infty) \}, \qquad X = A \cup \{(0, 0)\} $$ En este caso cualquier camino que salga de un punto de $A$ no puede acabar en el origen $(0, 0)$, ya que el camino, a medida que se acerca al origen, sube y baja verticalmente entre $-1$ y $+1$ indefinidamente. Una demostración rigurosa de la imposibilidad de unir por un camino un punto de $A$ con el origen podéis encontrarla aquí.

Las definiciones matemáticas son las siguientes:

Un camino en un espacio $X$ es una aplicación continua $\omega: [0,1] \longrightarrow X.$ Los puntos $\omega(0)$ y $\omega(1)$ se llaman origen y final del camino. Se dice que el camino $\omega$ une $\omega(0)$ y $\omega(1)$.

Un espacio se llama arco-conexo si para cualquier par de puntos $a, b \in X$ existe una camino con origen en $a$ y final en $b$. Una arco-componente de un espacio $X$ es un subespacio arco-conexo de $X$ maximal, es decir no contenido en ningún otro subespacio arco-conexo mayor.

En nuestros ejemplos, $X$ es conexo, pero no arco-conexo. En cambio $Y$ es conexo y arco-conexo. Se cumple que todo espacio arco-conexo es conexo, pero no al revés. La demostración rigurosa puede mirarse aquí.



Conexidad digital


En todo lo anterior hemos establecido que los objetos de estudio eran espacios euclidianos o, en general, espacios topológicos. Sin embargo, cada vez más estos espacios los tenemos dados por su imagen digital en una pantalla o una fotografía, que están formadas por un conjunto de pixels. Las definiciones que hemos visto no sirven para imágenes digitales. Es necesario, primero dar nuevas definiciones para el caso digital y segundo, contrastar la relación entre la conexidad de una imagen digital y la del objeto que representa. De esto se ocupa la Topología Digital y la Visión por Computador. Aquí vamos a dar solo las definiciones de conexidad para imágenes digitales.

En este caso, se procede de la siguiente forma. Se designa cada píxel con las coordenadas de su centro que podemos suponer números enteros: $(n, m) \in \mathbb Z \times \mathbb Z = \mathbb Z^2$.

Para cada $(n, m)$ se llaman puntos $4$-adyacentes a los cuatro puntos $(n \pm 1, m)$ y $(n, m\pm 1)$. Y se llaman puntos $8$-adyacentes a los puntos $4$-adyacente junto con los puntos $(n \pm 1, m \pm 1)$:


puntos 4-adyacentes

puntos 4-adyacentes

puntos 8-adyacentes

puntos 8-adyacentes

Sea $X \subset \mathbb Z^2$ un espacio digital.
Se dice que $X$ es $4$-conexo si para todo par de puntos $a=(a_1, a_2),\, b=(b_1, b_2) \in X$, existe un camino de puntos, $a, p_1, p_2, \dots p_k, b,$ cuyos puntos consecutivos son $4$-adyacentes.
$X$ se llama $8$-conexo si para todo par de puntos $a$, $b,$ existe un camino de puntos, $a, p_1, p_2, \dots p_k, a,$ cuyos puntos consecutivos son $8$-adyacentes.

Las $4$-componentes conexas y las $8$-componentes conexas de $X$, son los subconjuntos de $X$ $4$-conexos y $8$-conexos maximales respectivamente.


Las componentes conexas del plano digital se comportan de una forma peculiar. Por ejemplo, una curva cerrada puede no contener ningún punto o puede contener varias componentes conexas:
Curva que no rodea nada Camino que rodea dos componentes

Nada de esto pasa en el plano ordinario $\mathbb R^2$. En este se cumple el siguiente resultado fundamental:

Teorema de la curva de Jordan. Toda curva cerrada simple del plano euclidiano lo divide en dos componentes conexas disjuntas que tienen a la curva como frontera común. Una de estas componentes está acotada y la otra es no acotada.

Una curva cerrada simple es una curva cuyos puntos origen y final conciden, pero no tiene ninguna otra autointersección. Además su derivada cambia con continuidad, es decir, no tiene cambios bruscos de dirección.

En la versión digital de este resultado el concepto de curva simple hay que sustituirlo por el de arco.

Para $k = 4$ o $8$, un $k$-arco cerrado es un $k$-camino tal que cada punto tiene solo $2$ puntos del camino $k$-adyacentes.

Observad que ninguno de los tres caminos dibujados más arriba es ni un $4$-arco ni un $8$-arco. Rosenfeld probó la siguiente versión digital del teorema de Jordan, un resultado que ya había sido observado por varios matemáticos pero sin dar demostración.

Teorema de Jordan (versión digital). Sea $\mathcal{A}$ un arco $k$-cerrado del plano digital $\mathbb Z^2 \setminus \mathcal{A}$. Entonces $\mathbb Z^2$ costa de dos componentes $k'$-conexas, una acotada y la otra no, donde $$ k' = \left\{ \begin{array}{lcl} 4, & \text{si} & k = 8 \\ 8, & \text{si} & k = 4 \end{array} \right. $$


8-arco 4-arco


Test