Los grupos de homotopía y de homología

Irene Llerena


Grupos de homotopía



Espacios recubridores


Una muestra de la estrecha relación entre la teoría de espacio recubridores y el grupo fundamental es que nos hemos encontrado ya dos: Uno es la recta enrroscándose en la circunferencia; el otro el plano envolviendo infinidad de veces un toro. La definición es la siguiente: $$ p: \mathbb R \longrightarrow S^1 \qquad p(t) = (\cos t, \sin t) $$ el otro $$ p': \mathbb R^2 \longrightarrow \mathbb T , \qquad p'(\varphi, \zeta) = \left(\, (R + r \cos\varphi)\cos\zeta, \; (R + r \cos\varphi)\sin\zeta,\; r \sin\varphi \right) $$

Una aplicación continua exhaustiva $p: W \to X$ es un espacio recubridor de $X$ si todo $x \in X$ tiene un entorno $U$ (una bola abierta con centro en $x$ si estamos en subespacios de un $\mathbb R^n$) tal que $p^{-1}(U)$ es un conjunto de copias de $U$; esto es, $p^{-1}(W) = \bigcup_i U_i$ y sobre cada $U_i$, $\; p: U_i \to U$ es un homeomorfismo.
A $p$ se le llama proyección, a $X$ se le llama espacio base y a $W$ espacio total o también espacio recubridor de $X$.


La recta enrroscándose en al circunferencia es un espacio recubridor.

$$ p: \mathbb R \longrightarrow S^1 \qquad p(t) = (\cos t, \sin t) $$

La antiimagen de cualquier arco de la circunferencia consta de una infinidad de intervalos homeomorfos al arco.

Cualquier camino de $S^1$ se eleva a un camino de $\mathbb R$ que queda determinado por al antiimagen del origen del camino que se escoja.


Son también espacios recubridores de la circunferencia las circunferencias que se enrroscan en ella $k$-veces. La figura representa el caso $k = 3$.


$$ p: \mathbb R \longrightarrow S^1 \qquad p(t) = (\cos 6\pi t, \sin 6\pi t) $$

La antiimagen de cualquier arco de la circunferencia consta de tres arcos homeomorfos al arco tomado.

Aquí también, cualquier camino de $S^1$ se eleva a un camino de $S^2$ que queda determinado por al antiimagen del origen del camino que se escoja. Un camino que de una vuelta a la circunferencia se eleva a un caminoque recorre un arco $2\pi / 3$ de la circunferencia recubridora.


La propiedad de que los caminos se eleven es propia de cualquier espacio recubridor. Pero no solo se elevan los caminos, sino que también lo hacen las homotopías.

Sea $p: W \to X$ un espacio recubridor. Sea $\omega: [0,1] \to X$ un camino. Fijado un punto $ y \in W$ que se proyecte en el origen del camino, $p(y)=\omega(0)$, existe un, y solo un, camino $\tilde\omega$ de $W$ con origen en $y$ que se proyecta en $\omega$: $\; p (\tilde\omega(t)) = \omega(t)\,$ para todo $t$. $\tilde\omega$ se llama una elevación de $\omega$.

Sea $H: [0,1]\times [0,1] \to X$ una homotopía entre caminos $\omega$ y $\rho$ de $X$. En particular, ambos caminos con el mismo origen y final. Fijado un punto $ y \in W$ que se proyecte en el origen de los caminos, $p(y)=\omega(0) = \rho(0)$, existe una, y solo una, homotopía $\tilde H$ entre las elevaciones de $\omega$ y $\rho$ con origen $y$, tal que $\; p (\tilde H(t, s)) = H(t, s)\,$ para todo $t, s$. $\tilde H$ se llama una elevación de $H$.



En particular, cualquier camino cerrado de $X$ se eleva a un camino de $W$ (con origen prefijado). La elevación no es necesariamente cerrada. Ahora bien, las elevaciones con el mismo origen de dos caminos homótopos cerrados son caminos homótopos con el mismo final.

La proyección $p$ induce una aplicación entre los grupos fundamentales $$ p_* : \pi(W, y) \longrightarrow \pi(X, p(y)) $$ Del hecho de que las homotopías se eleven a todo el espacio se deduce fácilmente que $p_*$ es inyectiva. En el caso de $p: \mathbb R \to S^1$ se tiene $p_*:\pi(\mathbb R, 0) = \{1\} \to \pi(S^1, (1,0)) = \mathbb Z$.

En el caso $ p: S^1 \to S^1$, con $ p(t) = (\cos 6\pi t, \sin6\pi t)$, se tiene $$ p_*: \pi(S^1, (1,0)) =\mathbb Z \longrightarrow \pi(S^1, (1,0)) = \mathbb Z, \qquad p_*(\nu_1) = 3\nu_1 $$ donde $\nu_1$ es el camino que da una vuelta a la circunferencia. Es decir, $P_*$es la multiplicación por tres (en $\mathbb Z$): $k \mapsto 3k$ para todo $k$.


El otro espacio recubridor que nos encontrado antes es $p: \mathbb R^2 \to \mathbb T$, con espacio base el toro, $$ p(t, s) = \left(\, (R + r \cos 2 t \pi)\cos 2s\pi, \; (R + r \cos2t\pi)\sin 2s\pi,\; r \sin 2t\pi \right) $$ Otro ejemplo de espacio recubridor del toro e $q: \mathbb T \to \mathbb T$, con $$ q: \mathbb T \longrightarrow \mathbb T, \qquad q(\varphi, \zeta) = \left(\, (R + r \cos 3\varphi)\cos 2\zeta, \; (R + r \cos 3\varphi)\sin 2\zeta,\; r \sin 3\varphi \right) $$



Tanto en el espacio base como en el espacio total, los lados opuestos rojos están identificados y los lados opuestos verdes también. Cada cuadrado marcado en el toro superior cubre el toro inferior, de forma que cada punto tiene seis antiimágenes. Hemos dibujado en el espacio base discos con centro en un punto interior, en uno de los lados del cuadrado y en el vértice. Las identificaciones hacen que, cuando el centro es un punto del borde (disco verde) el disco está representado por dos semidiscos. De sus seis antiimágenes, tres también están representadas por semidiscos. En el caso del disco centrado en un vértice (color lila), la representación en el espacio base está formada por cuatro cuadrantes. De las seis antiimágenes, dos se ven como discos completos, tres como dos semidiscos y otra como cuatro cuadrantes.

El grupo fundamental del toro es $\mathbb Z \times \mathbb Z$. Los generadores son los caminos representados por los segmentos (de hecho son caminos cerrados) rojo y verde, tanto en el toro superior como en el inferior. Los podemos llamar $\nu_1$ y $\mu_1$ o bien, considerados como elementos de $\mathbb Z \times \mathbb Z$, son $(1,0)$ y $(0,1)$. La aplicación inducida sobre los grupos fundamentales $q_*: \pi(\mathbb T, y) \to \pi(\mathbb T, q(y))$ es $$ q_*(1,0) = (2,0), \qquad q_*(0,1) = (0,3) $$


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