Los grupos de homotopía y de homología

Irene Llerena


Grupos de homotopía



Más ejemplos



Grupo fundamental de un toro.

Un toro es un objeto con la forma de un neumático. Lo designaremos por $\mathbb T$. En matemáticas se define como el resultado de girar en el espacio una circunferencia que, tomando coordenadas convenientes, podemos suponer que es $C = \{(x,y,z) \in \mathbb R^3 \mid (x-R)^2 + z^2 = r,\;y = 0\}$ alrededor del eje de las $x = 0 = y$. Esto es, los puntos con coordenadas $(x, y, z)$ para todos los valores de los ángulos $\zeta$ y $\varphi$:

figura del toro $$ \qquad \qquad \left. \begin{array}{ll} x = & (R + r\cos \varphi)\cos \zeta \\ y = & (R + r\cos \varphi)\sin \zeta \\ z = & r\sin \varphi \end{array} \right\} $$

Sobre el toro podemos dibujar muchos caminos cerrados pero es difícil visualizar su posición relativa.
dibujo de dos nudos en el toro
dibujo de dos nudos en el toro 
aplanado
Para visualizar los caminos con más facilidad vamos a hacer lo siguiente. Cortamos por las lineas correspondientes a $\varphi = 0$ y a $\zeta = 0$: $$ C_1 = \{((R+r) \cos \zeta, \; (R+r)\sin\zeta, \; 0) \}, \qquad C_2 = \{(R + r\cos \varphi, \; 0 , \; R+ r\sin\varphi) \}, $$ y lo aplanamos. Esto equivale a designar los puntos por sus parámetros ángulo, en el rectángulo $[0, 2 \pi] \times [0, 2\pi]$, teniendo en cuenta que los puntos con una de las coordenadas $0$ son el mismo que con esa coordenada $2\pi$: $$ (\varphi, 0) = (\varphi, 2\pi), \qquad (0, \zeta) = (2\pi, \zeta) $$ En particular, los cuatro vértices son el mismo punto. El número de veces que un camino corta a $C_1$ ($\zeta = 0$) es el número de vueltas que da $\varphi$, es decir vueltas al agujero interior. $\varphi$ se llama ángulo poloidal, y las vueltas que da son las vueltas poloidales. Análogamente, el número de veces que un camino corta a $C_2$ ($\varphi = 0$) es el número de vueltas que da $\zeta$, es decir vueltas al orificio exterior. $\zeta$ se llama ángulo toroidal, y las vueltas que da son las vueltas toroidales.

Lo anterior vale si los cortes siempre son en la misma dirección Por ejemplo, para $C_1$, el camino llega al borde superior y continua hacía arriba desde el punto correspondiente del borde inferior, o al revés. Si se atraviesa $C_1$ en sentido contrario, habrá que tomar la diferencia entre los que pasan en uno u otro sentido. Lo mismo para los cortes que atraviesan $C_2$.

En la figura hemos dibujado dos caminos que se cortan. Hemos tomado ángulos de forma que en el punto de corte $\varphi = 0= \zeta$. El camino rojo de la figura da tres vueltas poloidales y dos toroidales; el camino verde da dos vueltas poloidales y tres toroidales.

La representación en un rectángulo ayuda mucho a visualizar los caminos pero no precisamente a ver si dos caminos son homótopos. Para ello vamos a dibujar los caminos, no ya en el un rectángulo sino en el plano; es decir, $(\varphi, \zeta)$ toman ahora cualquier valor real. Al alcanzar uno de los ángulos un valor múltiplo entero de $2\pi$ no salta a cero sino que aumenta o disminuye a partir de ese valor de forma continua. Para enteros cualesquiera $k, h \in \mathbb Z$, los pares siguiente representan el mismo punto sobre el toro $$ (\varphi, \zeta) = (\varphi + 2 k \pi, \; \zeta + 2 h \pi) $$ El camino rojo de nuestro ejemplo que da tres vueltas poloidales, tiene un ángulo poloidal que varia entre $0$ y $6\pi$. El ángulo $\zeta$ de este camino varía entre $0$ y $4\pi$.


Nudos en el toro plano

Vistos en el plano queda muy claro que podemos deformar el camino rojo hasta hacerlo coincidir con cualquiera de los dos caminos que hemos pintado de color naranja. La deformación en el plano corresponde a una deformación sobre el toro. Los caminos naranja dan vueltas en sentido poloidal o toroidal conservando fijo el otro ángulo. Así el inferior da tres vueltas en sentido poloidal, con $\zeta = 0$, seguidas de dos vueltas en sentido toroidal con $\varphi=6\pi$. Cualquier camino que una los vértices $(0,0)$ y $(6\pi,4\pi)$ es homótopo al camino rojo y a los naranja. El mismo razonamiento se podría repetir con cualquier camino cerrado sobre el toro.

Observemos que no hay manera de pasar del camino que acaba en $(6\pi,4\pi)$ al que acaba en $(4\pi,6\pi)$ por caminos que siempre acaben en el origen, es decir en puntos con dos coordenadas múltiplos enteros de $2\pi$

Designemos por $\nu_n$ un camino que de $n$ vueltas poloidales con $\zeta$ un múltiplo entero de $2\pi$ fijo y $\mu_m$ un camino que de $m$ vueltas toroidales con $\varphi$ múltiplo entero de $2\pi$ fijo. Sea $p$ el origen del camino. Lo que acabamos de ver nos dice que podemos definir la aplicación $$ g: \pi(\mathbb T, p) \longrightarrow \mathbb Z \times \mathbb Z $$ que aplica la clase de un camino $\omega$ en $(m, n)$ donde $m$ son el número de vueltas toroidales y $n$ el número de vueltas poloidales que da. Esta aplicación es biyectiva. En efecto, cualquier $(m, n)$ es imagen de $$ [\mu_m\cdot\nu_n] = [\nu_n \cdot\mu_m] \quad \mapsto \quad (m,n) $$ El que clases distintas se aplican en pares de enteros distintos es cierto pero algo más difícil argumentar.

La aplicación $g$ no solo es biyectiva sino que es un isomorfismo. En efecto, tomando en $\mathbb Z\times\mathbb Z$ la suma componente a componente, la imagen del producto de dos clases es la suma de las imágenes de las clases: $$ \begin{array}{lll} g([\mu_m\cdot\nu_n]\cdot [\mu_{m'}\cdot\nu_{n'}] ) = & g([\mu_{m+m'}\cdot\nu_{n+n'}] = & \\ & (m+m',\, n+n') = (m,\, n) + (m', \, n') & = g([\mu_m\cdot\nu_n] + g([\mu_{m'}\cdot\nu_{n'}] \end{array} $$

En resumen, el grupo fundamental del toro es $\mathbb Z \times \mathbb Z$.


El grupo fundamental de un disco agujereado

Tomemos primero el caso de un disco con un agujero. Ya hemos dicho que tiene un retracto de deformación que es una circunferencia y que su grupo fundamental es $\mathbb Z$. Lo visulizamos poniendo un cordel a lo largo del camino y deformándolo en un camino $\nu_n$ que daba un determinado número de vueltas alrededor de la circunferencia. Vamos ahora a utilizar un razonamiento parecido al que hemos hecho para el toro y que, en el fondo, viene a ser muy semenjante al del cordel.


circunferencia rectificada

Para ello escribimos la circunferencia como el conjunto de puntos de la forma $(\cos \varphi,\; \sin\varphi)$. Al recorrer el camino, $\varphi$ va creciendo y decreciendo. Si lo hace con continuidad, al alcanzar $2\pi$, o en general un múltiplo entero de $2\pi$, no salta a $0$ sino que va tomando valores mayores o menores según crezca o retroceda. Si hemos partido del punto $(1, 0)$ con $\varphi = 0$, el punto final será de la forma $2 n \pi$ y $n$ representa el número de vueltas que el camino ha dado a la circunferencia. Quizás ha dado más vueltas si ha hecho partes del recorrido en un sentido y después ha deshecho parte (o todo) en sentido contrario. Pero el número de vueltas que realmente ha dado es este $n$. En la figura hemos dibujado un camino en la corona circular para poder ver cuando retrocede. Tratad de ver cuantas vueltas da al agujero central.

Camino Cerrado Corona

Una manera fácil de contar el número de vueltas que realmente da el camino es trazar una semirrecta desde el centro y contar cuantas veces el camino la atravisa en la dirección $\varphi$ creciente y descontar cuantas veces la atraviesa en la dirección $\varphi$ decreciente. Si $\varphi$ crece en sentido opuesto a la agujas del reloj, el camino de la figura da $-1$ vueltas.


Si queremos calcular el grupo fundamental del disco con dos agujeros, o de su retracto de deformación como la figura de un ocho, la cosa se complica mucho. Podemos utilizar ángulos $\varphi$ y $\zeta$ para nombrar los puntos de una u otra circunferencia y hacer que estos ángulos varíen con continuidad en $\mathbb R$. Cada uno de estos ángulos solo podrá variar si el otro permanece fijo en un valor $2 k \pi$, con $k$ entero. Es decir, los puntos del ocho pueden representarse en la red del plano formada por los puntos que tienen una de las coordenadas múltiplo de $2\pi$. En la figura hemos representado un camino que da dos vueltas a una circunferencia en sentido opuesto al de las agujas del reloj ($\varphi$ creciente), después una vuelta a la otra circunferencia también en sentido creciente ($\zeta$ creciente), después una vuelta a la primera circunferencia, ahora en sentido de las agujas del reloj ($\varphi$ decreciente), después una a la segunda circunferencia (con $\zeta$ creciente) y, por último dos a la primera circunferencia con $\varphi$ creciente.



En este caso no es cierto que este camino sea homótopo al camino que da primero tres vueltas con $\varphi$ creciente y después dos vueltas con $\zeta$ creciente, como pasaba en el toro. Aquí la red está agujereada y no es posible deformar los caminos atendiendo solo al punto final.

En el caso del ocho, si designamos por $\nu_n$ y $\mu_m$ los caminos que dan $n$ y $m$ vueltas a la primera y segunda circunferencia, todos los caminos son homótopos al camino constante o a caminos composiciones del tipo $$ \nu_{n_1}\cdot\mu_{m_1}\cdot\nu_{n_2}\cdot\mu_{m_2} \dots\nu_{n_k}\cdot\mu_{m_k} $$ de cualquier longitud $k$. En particular, el camino de la figura es $\nu_2\cdot\mu_1\cdot\nu_{-1}\cdot\mu_1\cdot\nu_2$ La composición de caminos es la yuxtaposición, con la regla: $$ \nu_n\cdot\nu_m = \nu_{n+m}, \qquad \mu_k\cdot\mu_h = \mu_{k+h} $$ En particular, cualquier camino es el camino constante $\nu_0 = \mu_0$ o producto de los caminos $\nu_1$, $\mu_1$ y sus inversos. En particular, el camino de la figura se puede escribir como $$ \nu_1\cdot\nu_1\cdot\mu_1\cdot\nu_1^{-1}\cdot\mu_1\cdot\nu_1\cdot\nu_1 $$ Este grupo se denomina grupo libre generado por dos elementos $\nu_1$ y $\mu_1$. Hablaremos de él en la sección siguiente.

Camino Cerrado Corona

En general, un disco con $k$ agujeros tiene por retracto de deformación $k$ elipses (deformadas) con un punto común como indica la figura. Los elementos de su grupo fundamental son todas las composiciones de caminos que dan unas cuantas vueltas a una de las circunferencia. Se denomina grupo libre generado por $k$ elementos.