Los grupos de homotopía y de homología

Irene Llerena


Grupos de homotopía



Retractos


Hemos visto que el grupo fundamental de la corona circular es $\mathbb Z$. Un razonamiento muy similar nos llevaría a la conclusión de que el grupo fundamental de una circunferencia es también $\mathbb Z$.

En el caso del disco, todos los caminos son homótopos al camino constante y, por tanto, el grupo fundamental solo tiene un elemento, el $1$. En el caso de un espacio con solo un punto está claro que su grupo fundamental solo tiene un elemento también.

Consideremos ahora un disco con dos agujeros y un subconjunto en forma de "ocho" que rodee los agujeros como indica la figura:

Disco con dos agujeros y un ocho que 
los rodea

Tanto en el disco agujereado como en el ocho, los dos caminos que rodean cada uno de los círculos del ocho no son homótopos. Cualquier camino con origen y final en el punto $p$ resulta ser homótopo a un camino que va dando unas cuantas vueltas a un círculo y después otras cuantas vueltas al otro círculo y quizás de nuevo unas vueltas al primer círculo, y así hasta el final. Y esto tanto vale para los caminos del disco agujereado, como para el ocho que contiene. El grupo fundamental del disco agujereado y del ocho es el mismo.

Todos estos ejemplos son casos particulares de subespacios que son retractos de deformación del espacio. Estos, a su vez, son casos particulares de espacios homotópicamente equivalentes. Vamos a definirlos.

Dos aplicaciones contínuas $f, g: X \to Y$ se dice que son homótopas si existe una función contínua $$ H: X \times[0,1] \longrightarrow Y, \quad \text{tal que para todo }\, x, \quad H(x, 0) = f(x), \quad H(x, 1) = g(x) $$ Se dice entonces que $H$ es una homotopía de $f$ en $g$.

Podemos interpretar $H$ como un camino de aplicaciones $H_s = H( \quad, s): X \to Y$ que unen las aplicaciones $f$ y $g$.

Dos espacios $X$, $Y$, son homotópicamente equivalentes si existen aplicaciones contínuas $f:X \to Y$, $g:Y \to X$, tales que las composiciones $g\circ f: X \to X$ y $f\circ g: Y \to Y$ son homótopas a las aplicaciones identidad $Id_X: X \to X$ y $Id_Y: Y \to Y$.

Una aplicación continua $f: X \to Y$ induce siempre una aplicación entre los grupos de homotopia $$ f_*: \pi(X, p) \to \pi(Y, f(p)), \qquad f_*[\omega] = [f\circ \omega] $$ Se demuestra que $f_*$ está bien definida y conserva la operación. Además también se cumple que para cualquier $g: Y \to Z$ $$ (g\circ f)_* = g_*\circ f_* $$ En el caso de la definición de espacios homotópicamente equivalentes tenemos: $$ \begin{array}{lcl} g_*\circ f_* &=& (g\circ f)_* = (Id_X)_* = Id_{\pi(X,p)} \\ f_*\circ g_* &=& (f\circ g)_* = (Id_Y)_* = Id_{\pi(Y,f(p))} \end{array} $$ lo que implica que $f_*$ y $g_*$ son uno-a-uno (biyectivas). Por lo tanto, $f_*$ y $g_*$ son isomorfismos y los grupos $\pi(X, p)$ y $\pi(Y, f(p))$ son isomorfos.

Así pues los espacios homotópicamente equivalentes tienen grupos fundamentales isomorfos. (Se acostumbra a decir que tienen el "mismo grupo fundamental".) Esto permite calcular el grupo fundamental de un espacio buscando el de otro homotópicamente equivalente del que ya lo conozcamos o sea más fácil de calcular. En general, no es fácil de visualizar si dos espacios son homotópicamente equivalentes, sin embargo hay un caso en que es bastante más simple, los retractos de deformación.

Sea $Y \subset X$. Se dice que el subespacio $Y$ es un retracto de deformación de $X$ si existe una aplicación $r: X \to Y$ tal que
1. $r(y) = y$ para todo $y \in Y$.
2. $r$ compuesta con la inclusión $ X \to Y \subset X$ es homótopa a la identitad de $X$.
$r$ se llama una retracción de $X$ en $Y$.

Observad que la primera condición equivale a decir que la composición de la inclusión $Y \subset X$ con $r$ es la identidad y, en particular, homótopa a la identidad $Id_Y$. Es decir, un espacio es homotópicamente equivalente a cualquiera de sus retractos de deformación. Así pues, una buena opción para calcular el grupo fundamental de un espacio es buscarle un retracto sencillo.

Un ejemplo es el centro del disco: $O=(0,0) \in D^2 = \{(x,y) \in \mathbb R^2 \mid x^2 + y^2 = 1 \}$. La retracción $D^2 \to \{O\}$ aplica cualquier punto en el centro $r(x,y) = (0,0)$. Definamos $$ H: D^2 \times [0, 1] \to D^2, \quad H((x,y), 1-s ) = (xs, ys) $$ Cada $H_x = H(x, \quad)$ es un camino que une el punto $x$ con $O$. $H$ es una homotopia de $H_0 = H(\quad, 0) = Id_{D^2}$ en la aplicación $H_1$ que transforma cualquier punto en el centro, es decir es la composición de $r$ y la inclusió $\{O\} \subset D^2$.

Retraccion Disco en su centro Retraccion Corona en el borde

Un disco menos su centro tiene como retracto de deformación una circunferencia: $$ S^1 = \{(x,y) \in \mathbb R^2 \mid x^2 + y^2 = \frac14 \} \; \subset \; D^2 \setminus \{(0,0)\} $$ La retracción es $ r(x,y) = \frac{1}{2\sqrt{x^2 + y^2}} (x,y) $ y la homotopia $$ H_s(x,y) = (1-s)(x,y) + s \; r(x,y) $$ Las mismas aplicaciones sirven para demostrar que una corona circular tiene como retracto de deformación una circunferencia. Solo habría que cambiar, eventualmente, el radio de la circunferencia para que estuviera contenida en la corona.

Está claro que el disco con dos agujeros tiene al subespacio en forma de ocho como retracto de deformación, aunque escribir las ecuaciones de la retracción y de la homotopía nos llevaría más trabajo.

Para visualizar un retracto de deformaicón de un espacio $X$ consideremos la homotopía $H: X \times [0,1] \to X$. Los subespacios $H_s(X)$ son deformaciones de $X$. Nos podemos imaginar $X$ de pastilina y que lo vamos deformando (sin rasgarlo ni pegarlo). En el momento inicial $H_0(X) = X$. El subespacio final $A=H_1(X)$ es un retracto de deformación (con la condición de que $H_1(a) = a$ para todo $a \in A$).