Los grupos de homotopía y de homología

Irene Llerena


Grupos de homotopía



Seifert-Van Kampen


El cálculo del grupo fundamental no es fácil. Si el espacio tiene un solo punto, hay un único camino y el grupo fundamental solo consta de un elemento: la identidad. En el caso de la circunferencia se puede calcular utilizando la proyección $p: \mathbb R \to S^1$, $\; p(\varphi) = (\cos\varphi, \sin\varphi)$ que ya hemos utilizado para convecernos de que su grupo fundamental es $\mathbb Z$. En el resto de casos, el cálculo se basa en suponer que ya se conoce el grupo fundamental de ciertos subespacios. La situación más favorable es cuando tenermos un retracto de deformación con grupo fundamental conocido.

En otros casos se intenta poner el espacio como unión de dos abiertos, $X = U \cup V$, tales que los subespacios $U$, $V$ y $U\cap V$ sean arco-conexon y se conozcan sus grupos fundamentales. Se puede aplicar entonces el Teorema de Seifert-Van Kampen. Vamos a tratar de dar una idea de lo que afirma. Para ello necesitamos un poco de Teoría de Grupos.

Sean $G$ y $H$ dos grupos. Definimos el producto libre de $G$ y $H$, y lo designaremos por $G*H$ al conjunto de "palabras" del tipo $g_{i_1} h_{j_1} \cdots g_{i_N}h_{j_N}$ de cualquier longitud, con la operación yuxtaposición: $$ \left(g_{i_1}h_{j_1}\cdots g_{i_N}h_{j_N}\right) \cdot \left(g_{v_1}h_{w_1}\cdots g_{v_M}h_{w_M}\right) = g_{i_1}h_{j_1}\cdots g_{i_N}h_{j_N}g_{v_1}h_{w_1}\cdots g_{v_M}h_{w_M} $$ Con la siguientes reglas: 1. Las palabras de longitud $1$ formadas por la unidad de $G$ o por la unidad de $H$, son el mismo elemento, y actuan como elemento unidad; 2. La yuxtaposición de dos elementos del mismo grupo es su producto en dicho grupo. Así pues, cada palabra es un producto finito de elementos de $G$ y elementos de $H$ en determinado orden.

Con las notaciones de más arriba, sea $p \in \pi(U\cap V)$ y consideremos las inclusiones de $U\cap V$ en cada uno de los abiertos $U$ y $V$, y las aplicaciones que inducen en los grupos fundamentales $$ \begin{array}{rcl} U \cap V & \stackrel{\iota_U}{\longrightarrow} & U \\ \iota_V\downarrow & & \\ V & & \end{array} \qquad \qquad \begin{array}{rcl} \pi(U \cap V, p) & \stackrel{(\iota_U)_*}{\longrightarrow} & \pi(U, p) \\ (\iota_V)_*\downarrow & & \\ \pi(V, p) & & \end{array} $$ Recordemos que cualquier aplicación continua $f: Y \to X$ induce una aplicación $$ f_* : \pi(Y, p) \longrightarrow \pi(X, f(p)), \qquad f_*([\omega]) = [f\circ \omega] $$ que conserva la operación. Cuando se trata de inclusiones, la imagen de la clase de un camino es la clase de este camino en el espacio mayor. Por ejemplo, si tenemos una circunferencia en el plano, la imagen de un camino que da una vuelta a la circunferencia seria la identidad, puesto que en el plano es homótopo al camino constante.

El Teorema de Seifert-Van Kampen asegura que $\pi(X, p)$ es isomorfo al producto libre de $\pi(U,p)$ y $\pi(V, p)$ en el que se han identificado los elementos de estos grupos si son imágenes del mismo elemento de $\pi(U\cap V)$.

Se necesita algo de familiaridad con el álgebra para identificar los grupos que se obtienen, pero podemos poner algunos ejemplos sencillos.

Consideremos la esfera $S^2 = \{(x,y,z) \in \mathbb R^3 \mid x^2+y^2+z^2 = 1\}$. Como abiertos tomamos dos hemisferios agrandados un poco como indica la figura, puesto que necesitan ser abiertos y que la intersección también lo sea.


Descomposicion de la esfera

La intersección es una banda que se puede retraer a una circunferencia. Los hemisferios son discos, cualquier camino en ellos es homótopo al camino constante y, por tanto, su grupo fundamental solo consta de la unidad. $$ \begin{array}{rcl} \pi(U \cap V, p) = \mathbb Z & \stackrel{(\iota_U)_*}{\longrightarrow} & \pi(U, p) = \{1\} \\ (\iota_V)_*\downarrow & & \\ \pi(V, p) = \{1\} & & \end{array} $$ Por tanto el grupo fundamental de la esfera tiene también como único elemento la unidad: todos los caminos sobre la esfera son homótopos al camino constante.


El Teorema de Seifert-Van Kampen no puede aplicarse siempre. Por ejemplo, no sirve para calcular el grupo fundamental de la circunferencia puesto que esta no se puede poner como unión de dos abiertos con intersección arco-conexa. Pero sí podemos uilizarlo para calcular el grupo fundamental de la unión de pétalos (elipses) que hemos encontrado como retracto de deformación de un disco con $k$ agujeros. Le voy a llamar $F_k$:

Una flor y un p&eacutetalo con trocitos del 
resto
$$ \begin{array}{rcl} \pi(U \cap V, p) = \{1\} & \stackrel{(\iota_U)_*}{\longrightarrow} & \pi(U, p) = \mathbb Z \\ (\iota_V)_*\downarrow & & \\ \pi(V, p) = \mathbb Z* \overset{k-1}{\dots} * \mathbb Z & & \end{array} $$

Ponemos $F_k$, como unión de un pétalo $U$, con parte de los otros para que sea un abierto, y el resto de pétalos, $V$, con parte del que hemos arrancado para que también sea abierto. $U$ se retrae a una elipse y $V$ a $k-1$ elipses con un punto en común, es decir a $F_{k-1}$. $U \cap V$ se retrae a un punto. Procedemos por inducción. Si $k = 2$ (es decir $X$ es un ocho), tanto $U$ como $V$ tienen grupo fundamental $\mathbb Z$ y el grupo fundamental del ocho $F_2$ es $\mathbb Z * \mathbb Z$. Para $k > 2$, si suponemos que el grupo fundamental de $F_{k-1}$ el producto libre de $k-1$ veces $\mathbb Z$ tenemos que el grupo fundamental de $F_k$ es producto libre de $k$ veces $\mathbb Z$. En otras palabras, $\pi(F_k,p)$ es el grupo libre generado por los $k$ caminos que dan una de vuelta una de las elipses.

Observar que hay una diferencia esencial entre el grupo fundamental del toro y del ocho. El toro tiene un retracto de deformación que es un ocho: las circunferencias con $\varphi = 0$ y con $\zeta = 0$. Sean $\mu$ y $\nu$ los caminos que dan una vuelta a una y a otra. Considerados como caminos del toro conmutan $$ \nu\cdot\mu = \mu\cdot\nu $$ El grupo fundamental del toro, $\mathbb Z \times \mathbb Z$, es conmutativo. Si consideramos $\mu$ y $\nu$ como generadores del grupo fundamental del ocho, no conmutan. El grupo fundamental del ocho es $\mathbb Z * \mathbb Z$ y tiene muchísimos más elementos que el grupo fundamental del toro.