Los grupos de homotopía y de homología

Irene Llerena


Grupos de homotopía



El teorema del punto fijo


El Teorema del punto fijo es una consecuencia de que la circunferencia $S^1$ no es un retracto de deformación del disco $D^2$. En efecto, supongamos que sí lo fuera y $r: D^2 \to S^1$ fuera una retracción. En este caso, la aplicación $$ r\circ \iota: S^1 \hookrightarrow D^2 \stackrel{r}{\longrightarrow} S^1 $$ sería la identidad en $S^1$. Esto querría decir que, la aplicación $$ (r\circ \iota)_* = r_* \circ \iota_*: \pi(S^1,p) \longrightarrow \pi(D^2,p) \longrightarrow \pi(S^1, p) $$ sería la identidad sobre $\pi(S^1, p) = \mathbb Z$ lo cual no es posible puesto que $\pi(D^2,p) =\{1\}$ solo tiene un elemento.

Teorema del punto fijo. Cualquier aplicación continua $f:D^2 \to D^2$ tiene un punto fijo.

La demostración consiste en probar que, si no existe un punto fijo, la aplicación que a cada punto $x \in D^2$ le hace corresponder la intersección de la semirrecta con origen $f(x)$ que pasa por $x$ con el borde $S^1$, es una retracción. Y acabamos de ver que no existe ninguna retracción del disco en su borde.


Definici&oacuten de la retracci&oacuten

El teorema del punto fijo vale en cualquier dimensión $n \geq 2$:

Toda aplicación continua de la bola $D^n = \{ (x_1, \dots, x_n) \in \mathbb R^n \mid \sqrt{(x_1)^2+ \dots + (x_n)^1} \leq 1 \}$ en sí misma tiene un punto fijo.

En todos los casos es consecuencia de que el borde $S^{n-1}$ de $D^n$ no es un retracte de deformación. Si $r$ fuera una retracción, $$ (r\circ \iota)_* = r_* \circ \iota_*: \pi_{n-1}(S^{n-1},p) \longrightarrow \pi_{n-1}(D^n,p)\longrightarrow \pi_{n-1}(S^{n-1}, p) $$ sería la identidad. Ahora bien, $\pi(D^n,p) = \{1\}$ porque el centro de la bola es un retracto de deformación. Por otra parte, aplicando el Teorema de Seifert-Van Kampen de manera análoga a como lo hemos hecho para $S^2$, no es difícil deducir que $\pi_{n-1}(S^{n-1}) = \mathbb Z$. Esto hace imposible que la composición de más arriba sea la identidad.

Para cualquier $n \geq 2$ suponer que una $f:D^n \to D^n$ no tiene punto fijo permite definir una retracción aplicando cada $x \in D^n$ en la intersección de la semirrecta con origen $f(x)$ que pasa por $x$ con el borde $S^{n-1}$ de la bola.


El Teorema del punto fijo se utiliza en resultados sobre existencia de soluciones. Por ejemplo, si tenemos un sistema de ecuaciones: $ f_1(x_1,\dots, x_n)= 0, \dots, f_n(x_1, \dots, x_n) = 0$, consideramos la aplicación $g(x_1,\dots, x_n)= \left( f_1(x_1, \dots, x_n) + x_1, \dots f_n(x_1, \dots, x_n) + x_n\right).$ Las soluciones del sistema son puntos fijos de $g$. Se trata de ver si $g$ envía alguna bola $B(O, R)$ dentro de ella misma, en cuyo caso esta bola contiene un punto fijo.

Observar que el teorema no permite encontrar la solución, solo nos dice de su existencia.