Los grupos de homotopía y de homología

Irene Llerena


Grupos de homología



Aplicaciones de los grupos de homología


La Teoría de la Homología tiene múltiples aplicaciones y aumentan cada día. Aquí solo me referiré a algunas para ilustrar un poco la utilidad de esta teoría a nivel práctico.

Unas de las áreas más antiguas y activas en la aplicación de métodos homológicos son las de Medicina y Biología. Por ejemplo, se aplica para el conocimiento de la estructura de órganos como el corazón o la red de vasos sanguíneos, donde es esencial para la detección de enfermedades y malformaciones. En estos casos se trata de cuerpos tridimensionales, pero también de estructuras de dimensión 4. En efecto, no solo interesa conocer la morfología del corazón y sus válvulas, sino también como estas se van abriendo y cerrando en el tiempo. Si incorporamos el tiempo como cuarta coordenada, podemos mirar si existen cavidades de dimensión 4, lo que indicaría que una válvula no llega a cerrar bien.

Sobre un caso de vasos sanguíneos ver Analysis of blood vessel topology by cubical homology por M. Niethammer y otros. (2002)

Otro ejemplo muy interesante se describe en Procesamiento topo-geométrico de imágenes neuronales. En este caso se trata de estudiar las imágenes que los biólogos obtienen de las neuronas para estudiar sus ramificaciones, las dendritas. La comunicación entre neuronas, o contactos sinápticos, se producen a lo largo de las dendritas y los biólogos las pueden captar en determinadas imágenes neuronales. El proyecto descrito está encaminado a desarrollar métodos sistemáticos de estudiar estos contactos, lo que es muy importante en el control de enfermedades neurodegenerativas como el Alzhéimer.

En el caso de dimensión tres tenemos la ventaja que existen resultados que simplifican en gran medida el cálculo de la homología. Son resultados para variedades 3D, pero estos cuerpos o bien son variedades tridimensionales (compactas), o bien son homotópicamente equivalentes a ellas (por ejemplo por un proceso de engorde). La frontera de estas variedades no es nunca vacía y está formada por variedades de dimensión 2 compactas orientables, esto es por superficies del tipo de la figura. El número de asas se llama género de la superficie. Por ejemplo, el toro es una superfície de género 1; una esfera es una superfície de género 0.



Toda variedad $X$ de dimensión 3 compacta y conexa es triangulable, es decir homeomorfa a un poliedro finito. Tiene frontera no vacía que está formada por un número finito $r$ de variedades compactas de dimensión 2: $\, \partial X = S_1 \sqcup \dots \sqcup S_r$. Los grupos de homología no tienen torsión $$ H_0(X) = \mathbb Z, \qquad H_1(X) = \mathbb Z^{\beta_1}, \qquad H_2(X) = \mathbb Z^{r-1}, \qquad H_k(X) = 0, \; k > 2 $$ con $\; \beta_1 = \sum_{i=1}^r g_i$, siendo $\, g_i \,$ es el género de $S_i$.


La figura representa una 3-variedad $M$ cuya frontera tiene 4 componentes, la exterior es de género 2, una de las interiores también, hay otra que es un toro (género 1) y otra es una esfera. En particular tiene 3 cavidades de dimensión 2. Su homología es $$ H_2(M) = \mathbb Z^3, \qquad H_1(M) = \mathbb Z^5, \qquad H_0(M) = \mathbb Z $$


Ver Computing Homology Groups of Simplicial Complexes in $R^3$ de Tamal K. Dey y Sumanta Guha. Journal of the ACM, 45 (2) (1998) (accesible on-line) donde se describen los generadores de estos grupos.

Aplicaciones análogas aparecen en otras muchas áreas como procesamiento de imágenes, cartografía, modelado molecular.

Ver Computational Topology de T. K. Dey, H. Edelsbrunner y S, Guha. Computational topology. Contemporary mathematics, 223, 109-144, (1999). Y también Biological Applications of Computational Topology de Herbert Edelsbrunner.


Otro campo en el que la homología es muy útil es el análisis de grandes bases de datos. Los métodos de cálculo, cada vez más efectivos y potentes, permiten acumular una gran cantidad de resultados numéricos sobre los fenómenos que se estudian. Estos datos pueden proceder de cálculos computacionales de coordenadas de objetos geométricos pero también pueden estar generados por otras variables y venir dados por n-plas. En ambos casos, la lista de vectores difícilmente permite deducir su posible estructura geométrica. Los grupos de homología detectan huecos k-dimensionales de la base de datos y otras estructuras si aparece torsión.

Varios problemas se presentan en el análisis de las nubes de datos. Uno es que los datos suelen venir como una lista finita de vectores de $\mathbb R^n$ y forman, por tanto, un espacio discreto. Así las componentes son los propios puntos, y $\, H_0$ tiene tantos generadores como puntos. Además el resto de la homología es 0. Otro problema que se acostumbra a presentar es el del ruido, es decir, los pequeños errores como consecuencia de la obtención de los datos mediante mediciones o computación numérica. El ruido puede modificar mucho los grupos de homología realmente significativos.

Un método eficaz para encarar estos problemas es el siguiente. Se toman bolas centradas en cada uno de los puntos de radio $\varepsilon$ y se considera su unión. Si el radio es suficientemente pequeño, las bolas serán disjuntas y el espacio obtenido es homeomorfo al conjunto de puntos. A medida que el radio crece, la bolas se cortan cada vez más, disminuyen las componentes conexas y aparecen cavidades de distinto tipo. Las pequeñas cavidades debidas al ruido se forman en un momento dado pero desaparecen pronto al ir variando el radio. Una cavidad que dura mucho es muy probable que refleje una estructura real de la nube de datos. Naturalmente, llega un momento en que el radio es tan grande que la unión de bolas da lugar a un espacio contráctil que engloba todos los puntos. Así pues, es necesario establecer criterios para determinar en que momento vemos la estructura real de los datos.

La particularidad de este método es que permite calcular la homología de estos conjuntos de bolas de la siguiente manera. Sea $S$ el conjunto de datos. Para cada radio $\varepsilon$ se considera un complejo simplicial (abstracto) $\,C_\varepsilon(S)$, cuyos 0-símplices son los puntos de $S$, y los símplices son los conjuntos de puntos $S$ tales que las bolas centradas en ellos tienen puntos comunes a todas ellas. Se llama complejo de Cech.

Antes de seguir debemos aclarar que es un complejo simplicial abstracto.

Un complejo simplicial abstracto (finito) es un cojunto finito de puntos y una familia de subconjuntos de estos puntos, que llamaremos simplices, de forma que todo subconjunto de un símplice es un símplice. La homología de un complejo simplicial abstracto se obtiene construyendo un complejo de cadenas con grupos generados por los símplices y morfismos $\partial$ definidos de forma similar a como se hizo para los complejos geométricos.

El resultado que nos importa es el siguiente caso particular de un teorema algo más general: Teorema del Nervio de un recubrimiento.

La homología de la unión de bolas de radio $\varepsilon$ centradas en un conjunto finito de puntos coincide con la homología del complejo simplicial abstracto $C_\varepsilon(S).$

El estudio de la homología de estos espacios de bolas al variar los radios se estructura en lo que se denomina la homología presistente, actualmente la herramienta más eficaz para este tipo de estudios. De hecho, por razones computacionales, no se utilizan los complejos de Cech sino una variante: los complejos de Vietoris-Rips.

Ver Topology and Data de Gunnar Carlsson. Carlsson. Bulletin of the American Mathematical Society, 46(2), 255-308 (2009) (accesible on-line).



La homología ha sido también aplicada con éxito a sistemas dinámicos no lineales. En particular a la detección de caos, al estudio de tipos de conjuntos invariantes, o a la detección de trajectorias periódicas. Una herramienta importante en estas aplicaciones es el índice de Conley, una extensión homológica del índice de Morse. En este tipo de aplicaciones, no solo es preciso la determinación de los grupos de homología sino que también son necesarios los morfismos inducidos entre ellos por una aplicación continua, lo cual es mucho más complicado desde el punto de vista computacional.

Con el objetivo de crear herramientas de computación eficientes T. Kaczynski, K. Mischaikow y M. Mrozek en Computational Homology (Springer 2004) desarrollan una Teoría de Homología Cúbica, que consiste, en esencia, en sustituir los símplices por cubos. Es con homología cúbica con la que se hacen la mayoría de estudios en este área. Sin embargo en campos como el de la Visión por Computador se prefiere utilizar la homología símplicial.