Los grupos de homotopía y de homología

Irene Llerena


Grupos de homología



Computación de los grupos de homología

El primer paso para calcular la homología de un espacio es describirlo como realización de un complejo simplicial; es lo que se llama triangulización del espacio. Hay diferentes métodos y dependen de como esté dado el espacio. En el caso de las bases de datos ya hemos mencionado la posibilidad de construir un complejo simplicial abstracto (de Vietoris-Rips). Si lo que tenemos es una imagen digital, es decir un conjunto de pixeles, lo más conveninete puede ser utilizar homología cúbica. Etc.

Ver, por ejemplo, Triangulating topological spaces de H. Edelsbrunner y N. Shah (1997).


Una vez construido el complejo simplicial, el método estándar para calcular la homología es encontrar la forma normal de Smith de las matrices de los homomorfismos borde $\partial.$ Se suelen llamar matrices de incidencia y sus elementos números de incidencia. Que esto se puede hacer de una manera sistemática depende, naturalmente, de como esté dado el complejo. Conocidos los números de incidencia se procede a encontrar la forma de Smith por métodos algebraicos. El problema es que los mejores algoritmos para encontrar la forma normal de Smith de una matriz entera tienen complejidad supercúbica y, a pesar de que las matrices de incidencia tienen una gran cantidad de ceros, si la muestra de puntos es muy grande pueden haber casos casi inviables desde el punto de vista computacional. Hay mucha literatura, con distintos enfoques, sobre métodos de cálculo de la forma de Smith lo más económicos posibles. Algunos tienen motivación topológica: la Homología necesita de la Computación y esta aprovecha a su vez conceptos topológicos!

Ver Homology algorithm based on acyclic subspaces de M. Mrozek, P. Pilarczyck y N. Zelavna. Computer & Mathematics with Applications, 55 (2008). Y también Computational Homology de T. Kaczynski, K. Mischaikow y M. Mrozek (2004), Capítulo 3.


En el caso en que sepamos que no existe torsión, como por ejemplo si se trata de 3-variedades compactas, solo es necesario calcular el rango de los grupos de homología, es decir, los números de Betti. Una buena manera de calcularlos es un método incremental de Delfinado y Edelsbrunner.

Ver An incremental algorithm for Betti numbers of simplicial complexes, por Delfinado, C. J. A., & Edelsbrunner, H. In Proceedings of the ninth annual symposium on Computational geometry ACM (1993).
Y también, de los mismos autores, An incremental algorithm for Betti numbers of simplicial complexes on the 3-sphere. Computer Aided Geometric Design (1995).


Es importante tener en cuenta que los generadores de los grupos de homología obtenidos por procesos algebraicos como la diagonalización de Smith, no suelen ser buenos desde el punto de vista geométrico. Por ejemplo, si resulta que una nube de puntos tiene la forma de dos circunferencias con un punto en común, obtendremos que $\,H_1(X) \cong \mathbb Z^2$ pero nada nos garantiza que los generadores algebraicos $(1,0), \, (0,1)$ correspondan a los caminos que dan una vuelta a una de las circunferencias, y qué puntos se encuentran en cada una de ellas. En general el cálculo de la homología no describe geométricamente la localización de las cavidades, solo su existencia y su número.

Como ya dijimos, en Computing Homology Groups of Simplicial Complexes in $R^3$ T. K. Dey y S. Guha, (1998), describen generadores geométricamente significativos de los grupos de homología de las 3-variedades compactas.


Actualmente, la homología persistente se ha convertido en una herramienta básica en muchas aplicaciones, sobretodo en el estudio de bases de datos y, y como consecuencia es un área muy activa, tanto desde el punto de vista teórico como computacional.

Ver Computing Persistent Homology de Zomorodian, A. & Carlsson, G. Discrete & Computational Geometry, 33(2), 249-274, (2005)
Persistent homology - A survey de Edelsbrunner, H., & Harer, J. Contemporary mathematics, 453, 257-282 (2008).
Tracking a generator by persistence de Busaryev, O., Dey, T. K., & Wang, Y. Discrete Mathematics, Algorithms and Applications, 2(04), 539-552 (2010).



Especialmente interesante es la página Computational Homology Project, CHomP, del grupo de K. Mischaikow, de la Universidad de Rutgers, que trabaja en proyectos "orientados a la aplicación de métodos topológicos efectivos para el estudio de sistemas no lineales". Contiene programas libres de Homología, Homología Persistente, y Bases de Datos. También enlaces a otros grupos que trabajan en la misma área.


Los retos que los problemas que la topología, y en particular del cálculo de la homología, plantean han supuesto un impulso el desarrollo de herramientas computacionales. Pero también, recíprocamente, conceptos topológicos han resultado útiles para resolver problemas computacionales. La interacción entre distintas áreas resulta siempre beneficionsas para ambas,

Ver Topology for Computing de Afra J. Zomorodian (2005).