Los grupos de homotopía y de homología

Irene Llerena


Grupos de homología



Homología relativa


Sea $\pmb P$ un subpoliedro de $\pmb K$. Es decir, $\pmb P$ es un poliedro tal que todos sus símplices son símplices de $\pmb K.$ Por tanto, los grupos $C_k(\pmb P)$ son subgrupos de $C_k(\pmb K).$

Los ciclos de $\pmb P$ son ciclos de $\pmb K$. Y si una cadena es un borde en $\pmb P$ también es un borde en $\pmb K.$ Tenemos pues que la inclusión $\, \iota: \pmb P \hookrightarrow \pmb K\,$ induce una aplicación entre los grupos de homología $$ \iota_*: H_k(\pmb P) \longrightarrow H_k(\pmb K) $$ Esta aplicación no tiene por qué se exhaustiva, y tampoco tiene por qué ser inyectiva. La diferencia de dos ciclos $z_1 - z_2$ de $\pmb P$ puede no ser borde de una cadena de $\pmb P$, pero ser borde de una cadena de $\pmb K,$ con lo que $z_1$ y $z_2$ representan distintos elementos de $H_k(\pmb P)$ pero el mismo de $H_k(\pmb K).$ Veremos como la homología relativa refleja, en cierta medida, la falta (o no) de inyectividad y exhaustividad de $\iota_*.$

La homología relativa toma como ciclos las cadenas de $\pmb K$ cuyo borde esté en $\pmb P.$

Se llama complejo simplicial del par $(\pmb K, \pmb P)$ a la sucesión de morfismos $$ \begin{array}{ll} \dots \longrightarrow C_{k+1}(\pmb K)/C_{k+1}(\pmb P) & \stackrel{\bar{\partial}_{k+1}}{\longrightarrow} C_k(\pmb K)/C_k(\pmb P) \stackrel{\bar{\partial_k}}{\longrightarrow} C_{k-1}(\pmb K)/C_{k-1}(\pmb P) \longrightarrow \\ & \dots \longrightarrow C_1(\pmb K)/C_1(\pmb P) \stackrel{\bar{\partial_1}}{\longrightarrow} C_0(\pmb K)/C_0(\pmb P) \longrightarrow 0 \end{array} $$ con $\;\bar{\partial}_k ([ c]) = [ \partial_k ( c)]$. (Todos los representantes dan lugar a la misma clase!)

Se utiliza la notación $C_k(\pmb k) / C_k(\pmb P) = C_k(\pmb K, \pmb P).$

Se llama grupo de k-ciclos del par $(\pmb K, \pmb P)\;$ a $ \;Z_k(\pmb K, \pmb P) = \ker \bar{\partial}_k.$
Se llama grupo de k-bordes de par $(\pmb K, \pmb P)\;$ a $\; B_k(\pmb K, \pmb P) = \text{img}\, \bar{\partial}_{k+1}.$
Se llama homología relativa del par $(\pmb K, \pmb P)$ a los grupos $$ H_k(\pmb K, \pmb P) = Z_k(\pmb K, \pmb P) / B_k(\pmb K, \pmb P) $$

La importancia de estos grupos reside en la existencia de una sucesión "exacta" que los relaciona con la homologia de $\pmb K$ y de $\pmb P.$

Una sucesión de morfismos $$ \dots A \longrightarrow B \longrightarrow C \longrightarrow D \dots $$ se dice que es una sucesión exacta si la imagen de cada uno de ellos es igual al núcleo del siguiente.

Si $A \to B \to C \to D$ es exacta se tiene:

      $A = 0$ si, y solo si, $B \to C$ es inyectiva.

      Si $A = 0$, $B$ es isomorfo a $\ker (C \to D).$

      $D=0$ si, y solo si, $C \to D$ es exhaustiva.

      Si $D = 0$, $C$ es isomorfo a $C/\text{img}\,(A \to B).$

En particular, $$ 0 \longrightarrow A \stackrel{f}{\longrightarrow} B \longrightarrow 0 \qquad \text{exacta} \quad\Rightarrow\quad f: A \cong B \quad \text{isomorfismo} $$

Existe una sucesión exacta, que se llama sucesión del par $(\pmb K, \pmb P)$ $$ \begin{array}{ll} \dots H_k(\pmb P) \longrightarrow & H_k(\pmb K) \longrightarrow H_k(\pmb K, \pmb P) \stackrel{\Delta}{\longrightarrow} H_{k-1}(\pmb P) \longrightarrow \\ & H_{k-1}(\pmb K) \longrightarrow \dots \longrightarrow H_0(\pmb P) \longrightarrow H_0(\pmb K) \stackrel{\Delta}{\longrightarrow} H_0(\pmb K, \pmb P) \end{array} $$

La aplicación $H_k(\pmb P) \to H_k(\pmb K)$ está inducida por la inclusión de $\pmb P$ en $\pmb K.$ Si $[z] \in H_k(\pmb P),$ el ciclo representante $z$ es también ciclo considerado en $\pmb K$ y define una clase de homología que se toma como imagen de $[z].$

Sea $ [z] \in H_k(\pmb K)$; $z$ es un ciclo de $\pmb K$ y su borde en 0, por tanto también es ciclo de $C_k(\pmb K, \pmb P).$ La imagen de $[z]$ es la clase representada por $z.$

Es decir, estas dos aplicaciones aplican una clase $[z]$ en la clase de $z$ considerado como ciclo de otro poliedro (o par de poliedros). La aplicación $\Delta$ está inducidas por el borde $\partial.$

Sea $[z] \in H_k(\pmb K, \pmb P)$. El representante $z$ es un ciclo de $C_k(\pmb K, \pmb P),$ lo que significa que tiene el borde en $\partial z \in C_{k-1}(\pmb P).$ Este borde es un ciclo. La imagen de $[z]$ es la clase de $\partial z.$ $$ H_k(\pmb K, \pmb P) \longrightarrow H_{k-1}(\pmb P), \qquad [z] \mapsto [\partial z] $$

Ejemplo 1. Sea $\pmb K$ el poliedro de la figura



Y sea $P$ el subpoliedro formado por la arista $\alpha_2$ y sus dos vértices. Los complejos de cadenas de $\pmb P$ $\pmb K$ y el par $(\pmb K, \pmb P)$ son $$ \begin{array}{rcccccccc} \pmb P: \qquad 0 & \longrightarrow & 0 & \longrightarrow & \mathbb Z & \longrightarrow & \mathbb Z^2 & \longrightarrow & 0 \\ & & & & \alpha_2 & & a_1, a_2 & & \\ \\ \pmb K: \qquad 0 & \longrightarrow & \mathbb Z & \longrightarrow & \mathbb Z^5 & \longrightarrow & \mathbb Z^4 & \longrightarrow & 0 \\ & & c & & \alpha_1,\alpha_2,\alpha_3, \alpha_4, \alpha_5 & & a_1, a_2, a_3, a_4 & & \\ \\ (\pmb K, \pmb P): \quad 0 & \longrightarrow & \mathbb Z & \stackrel{\partial_2}{\longrightarrow} & \mathbb Z^4 & \stackrel{\partial_1}{\longrightarrow} & \mathbb Z^2 & \longrightarrow & 0 \\ & & c& & \alpha_1,\alpha_3, \alpha_4, \alpha_5 & & a_0, a_3 & & \end{array} $$ Debajo de cada grupo hemos escrito un sistema de generadores. Por simplicidad, indicamos las clases escribiendo solo un representante. La homología relativa es: $$ \partial_2 c = \alpha_1 + \alpha_3 \quad\Rightarrow\quad H_2(\pmb K, \pmb P) = 0 $$ $$ \partial_1 \alpha_1 = -a_0, \; \partial_1 \alpha_3 = a_0, \; \partial_1 \alpha_4 = a_3, \;\partial_1 \alpha_5 = - a_3 \quad\Rightarrow\quad \ker \partial_1 = \mathbb Z \times \mathbb Z, \quad \text{img}\,\partial_1 = \mathbb Z^2 $$ Los generadores de $\ker \partial_1$ son $\alpha_1+ \alpha_3$ y $\alpha_4+\alpha_5.$ Por tanto $\; H_1(\pmb K, \pmb P) = \mathbb Z\;$ generado por la clase de $\alpha_4+\alpha_5$. Los dos 0-símplices $a_0$ y $a_3$ son borde y por tanto $\; H_0(\pmb K, \pmb P) = 0.$

La parte no nula de la sucesión exacta de homología es: $$ 0 \longrightarrow H_1(\pmb K)=\mathbb Z \longrightarrow H_1(\pmb K, \pmb P)=\mathbb Z \stackrel{\Delta}{\longrightarrow} H_0(\pmb P) = \mathbb Z \longrightarrow H_0(\pmb K) = \mathbb Z \longrightarrow 0 $$ Tenemos que $\; \Delta([\alpha_4+\alpha_5]) = [a_1 - a_2] = 0$ en $\,H_0(\pmb P)$. Es decir $\Delta = 0$ y las otras dos aplicaciones son isomorfismos (como se puede comprobar directamente).


Ejemplo 2 Sea $\pmb K$ el poliedro formado por un $n$-símplice con sus caras y sea $\pmb P$ el poliedro formado por todas las caras de $\pmb K$ de dimensión menor que $n.$ Los complejos de cadenas solo se diferencían en el n-ésimo que son $C_n(\pmb K) = \mathbb Z$ y $C_n(\pmb P) = 0.$ El complejo de cadenas del par es $$ 0 \longrightarrow C_n(\pmb K, \pmb P) = C_n(\pmb k) / C_n(\pmb P) = \mathbb Z \longrightarrow 0 \longrightarrow \dots \longrightarrow 0 $$ Por tanto, $H_n(\pmb K, \pmb P) = \mathbb Z$ y el resto de los grupos de homología son 0.