Los grupos de homotopía y de homología

Irene Llerena


Grupos de homología



Homología singular relativa


Sea $A$ un subespacio del espacio $X .$ Los grupos de cadenas $C_k(A)$ son subgrupos de $C_k(X) .$ El grupo cociente, que denotaremos por $$ C_k(X, A) = C_k(X) / C_k(A) $$ son las cadenas cuyos símplices no están contenidos en $A .$ (Más exactamente, son las clases del cociente que tienen un representante en el que no aparecen símplices cuya imagen esté en $A .$)

Si $c + C_k(A)$ es una clase de $C_k(X, A) ,$ el operador $\partial$ envia todos sus elementos a la misma clase de $C_{k-1}(X,A) ,$ ya que $$ \partial (C_k(A))\subset C_{k-1}(A) \qquad\Rightarrow\qquad \partial(c + C_k(A)) \subset \partial c + C_{k-1}(A) $$ Podemos pues definir un morfismo $$ \bar{\partial}_k: C_k(X,A) \longrightarrow C_{k-1}(X,A), \qquad \bar{\partial}_k ([c]) = [ \partial c ] $$ Se cumple $\, \bar{\partial}_k \bar{\partial}_{k+1} = 0 .$

Se llama complejo singular del par $(X, A)$ a la sucesión de morfismos $$ \dots \longrightarrow C_{k+1}(X, A) \stackrel{\bar{\partial}_{k+1}}{\longrightarrow} C_k(X, A) \stackrel{\bar{\partial_k}}{\longrightarrow} C_{k-1}(X, A) \longrightarrow \dots \longrightarrow C_1(X, A) \stackrel{\bar{\partial_1}}{\longrightarrow} C_0(X, A) \longrightarrow 0 $$

Se llama grupo de k-ciclos del par $(X, A) \; $ a $ \;Z_k(X, A) = \ker \bar{\partial}_k .$
Se llama grupo de k-bordes de par $(X, A) \;$ a $ \;B_k(X, A) = \text{img}\, \bar{\partial}_{k+1} .$
Se llama homología relativa del par $(X, A)$ a los grupos $$ H_k(X, A) = Z_k(X, A) / B_k(X, A) $$

Existe una sucesión exacta, que se llama sucesión del par $(X, A)$ $$ \begin{array}{ll} \dots H_k(A) \longrightarrow & H_k(X) \longrightarrow H_k(X, A) \stackrel{\Delta}{\longrightarrow} H_{k-1}(A) \longrightarrow \\ & H_{k-1}(X) \longrightarrow \dots \longrightarrow H_0(A) \longrightarrow H_0(X) \stackrel{\Delta}{\longrightarrow} H_0(X, A) \end{array} $$

La aplicación $H_k(A) \to H_k(X)$ está inducida por la inclusión de $A \subset X .$ Si $[z] \in H_k(A) ,$ el ciclo representante $z$ es también ciclo considerado en $X$ y define una clase de homología que se toma como imagen de $[z] .$

Sea $ [z] \in H_k(X) ;$ $z$ es un ciclo de $X$ y su borde es 0, por tanto también es ciclo de $C_k(X, A) .$ La imagen de $[z]$ es la clase representada por $z .$

Es decir, estas dos aplicaciones aplican una clase $[z]$ en la clase de $z$ considerado como ciclo de otro espacio (o par de espacios). La aplicación $\Delta$ está inducidas por el borde $\partial .$

Sea $[z] \in H_k(X, A) .$ El representante $z$ es un ciclo de $C_k(X, A) ,$ lo que significa que tiene el borde en $\partial z \in C_{k-1}(A) .$ Este borde es un ciclo. La imagen de $[z]$ es la clase de $\partial z .$ $$ H_k(X, A) \longrightarrow H_{k-1}(A), \qquad [z] \mapsto [\partial z] $$


Un resultado con importantes consecuencias es el siguiente.

Teorema de Excisión. Sea $U \subset A \subset X ,$ si la adherencia de $U$ está contenida en el interior de $A ,$ $\; \overline{U} \subset \overset{o}{A}\, ,$ existe un isomorfismo $$ H_n(X - U,\, A - U) \cong H_n(X, A) $$ inducido por la inclusión: dado $[z] \in H_n(X - U,\, A - U) ,$ la cadena $z$ tiene su borde en $C_n(A - U) \subset C_n(A)$ y, por tanto, es un ciclo de $Z_n(X, A)$ y representa una clase de $H_n(X,\, A)$ que se toma como imagen.


Homología local


Sea $x \in X$ y un conjunto $V$ cuyo interior contenga a $x :$ $\; x \in \overset{o}{V} \subset V .$ Del Teorema de Excisión se deduce que $$ H_n(X, X \setminus \{x\}) \cong H_n(V, V \setminus \{x\})) $$ Es decir, la homología del par $(X, \, X\setminus \{x\})$ solo depende de cualquier $V$ con la condición exigida, por pequeño que sea. Si $X \subset \mathbb R^m$, solo depende de una bola que contenga $x$ y radio tan pequeño como queramos.

Los grupos $H_n(X, \, X\setminus \{x\})\, $ se llama grupos de homología local de $X$ en $x .$

La homología local es muy útil para, por ejemplo, distinguir los puntos bordes de una n-variedad topológica, es decir un espacio (Hausdorff) tal que todo punto $x = (x_1, \dots, x_n)$ tiene un entorno $V$ homeomorfo a

o bien una bola abierta $$ V \cong \overset{o}{E^n} = \{ y=(y_1, \dots, y_n) \mid y_1^2 + \dots + y_n^2 < 1 \} $$ o bien a una semibola $$ V \cong H = \{ y \in \overset{o}{E^n} \mid y_n \geq 0\} $$ en ambos casos $x \leftrightarrow (0,\dots,0) .$

Los puntos con un entorno homeomorfo a una bola abierta se llaman puntos interiores de la variedad. Los puntos con un entorno homeomorfo a una semibola se llaman puntos borde de la variedad. Aunque parece evidente no resulta nada fácil demostrar que un mismo punto no pueda tener un entorno de un tipo y otro del otro tipo. Una manera fácil de probarlo es calcular su homología local y ver que es distinta en uno y otro caso. Como esta homología local es un grupo, $H_n(X, \, X\setminus \{x\})\, ,$ que no depende del entorno o bien todos los entornos son de un tipo o del otro.

En el primer caso la homología local resulta ser cero en todas las dimensiones salvo $$ H_n(X, X - \{x\}) \cong H_n(V, V - \{x\}) \stackrel{(a)}{\cong} H_{n-1}(V - \{x\}) \cong H_{n-1}(\overset{o}{E^n} - \{x\}) \stackrel{(b)}{\cong} H_{n-1}(S^{n-1}) $$ El isomorfismo (a) resulta de la sucesión del par $(V, V-\{x\})$ ya que $V$ es contáctil y su homología es cero. El isomorfismo (b) resulta de hecho de que la bola abierta menos el centro tiene un retracto de deformación que es homeomorfo a una esfera. El último grupo $H_{n-1}(S^{n-1})$ es $\mathbb Z$ si $n \geq 2 ,$ o bien $\mathbb Z^2$ si $n = 1 ,$ ya que $S^0$ son dos puntos.

En el segundo caso, $$ H_n(X, X - \{x\}) \cong H_n(V, V - \{x\}) \cong H_n(H, H- \{0\}) = 0 $$ puesto que tanto $H$ como $H-\{0\}$ son contráctiles.