Los grupos de homotopía y de homología

Irene Llerena


Grupos de homología



Espacios celulares


Los poliedros son una clase muy pequeña y muy rígida de espacios. Los espacios celulares son una clase más amplia. Así como los poliedros están formados por símplices, los espacios celulares están formados por celdas. El interior de una celda es homeomorfo a una bola abierta (y también al interior de un símplice). Además las celdas están unidas a las celdas de dimensión inferior de una forma mucho más libre que lo hacen los símplices en un poliedro. La manera de unir las celdas al resto se hace por lo que se denomina adjunción de celdas. Como en el caso de los poliedros, solo definiremos el caso finito. Antes necesitamos introducir algunas notaciones.

$f: (X,A) \to (Y,B)$ indica una aplicación $f: X \to Y$ tal que $f(A) \subset B.$

$E^k$ indica la bola cerrada de dimensión $k$, y $S^{k-1}$ su esfera frontera. En particular, $E^1$ es un intervalo cerrado y $S^0$ sus dos extremos. $E^2$ es un disco cerrado y $S^1$ su circunferencia borde.

Sea $f: S^{n-1} \to X$ una aplicación continua. El espacio adjunción de una $n$-celda a $X$ via $f$ es el espacio cociente de la unión disjunta $X \sqcup E^n$ por la identificación de puntos $z \in S^{n-1}$ con sus imágenes $f(z)\in X.$ Es decir, los únicos puntos relacionados son $\; z \sim f(z)\; $ y los puntos de $S^{n-1}$ que tienen la misma imagen. Indicaremos este espacio cociente por $X\cup_f e^n.$



La proyección $p: X \sqcup E^n \to X \cup_f e^n$ aplica $X$ en un subespacio del espacio adjunción que designaremos también por $X$. La restricción de $p$ a la bola abierta $\overset{o}{E^n} = E^n \setminus S^{n-1}$ es un homeomorfismo en la imagen que llamaremos celda abierta. A $p(E^n)$ le llamaremos celda cerrada.

La aplicación $g: E^n \to X \sqcup E^n \to X \cup_f e^n$ se llama aplicación característica de la n-celda. Su restricción a $S^{n-1}$ es $f :$ $$ (g,f) :\; (E^n,\; S^{n-1}) \longrightarrow (X_f\cup e^n, \; X) $$


Llamaremos espacio celular de dimensión n a un espacio $X$ junto con una sucesión de subespacios $$ X^{(0)} \subset X^{(1)} \subset \dots \subset X^{(n-1)} \subset X^{(n)}= X $$ tales que

$X^{(0)}$ es un conjunto finito de puntos, que llamaremos 0-celdas.

Cada espacio $X^{(k)},$ con $k \leq n$, se obtiene adjuntando k-celdas a $X^{(k-1)}$ (nosotros supondremos siempre en número finito).

Las figuras que siguen son espacios celulares.


(a)

(b)

( c)

La figura (a) es un espacio obtenido adjuntando 9 1-celdas a un conjunto de 4 puntos. La figura (b) se obtiene adjuntando una 2-celda a un punto, via la aplicación que aplica toda la circunferencia $S^1$ en un solo punto. La figura ( c) se obtiene adjuntando dos 1-celdas a dos puntos y adjuntando después dos 2-celdas a la circunferencia que se obtiene. Los tres espacios son espacios celulares.

En el caso de 1-celdas, la aplicación característica $$ (g,f) : (E^1, S^0)=([-1,+1], \{-1, +1\}) \to (X^{(0)}\cup_f e^1, X^{(0)}) $$ induce una orientación en la celda que se suele indicar con una flecha de la imagen de -1 a la de 1. También en dimensiones superiores se fija una orientación en $(E^n, S^{n-1})$ que induce, via la aplicación característica, una orientación en la celda. Como en el caso de los poliedros, estas orientaciones intervienen en el cálculo de los grupos de homología.

Cualquier poliedro es un espacio celular cuyas celdas son los símplices.


Homología celular

Sea $X$ un espacio celular. Llamamos k-ésimo grupo de cadenas o k-cadenas del $X$ al conjunto de expresiones del tipo $x^1 \sigma_1 + \dots + x^m \sigma_m$, donde los coeficientes $x^1, \dots, x^m$ son enteros y $\sigma_1, \dots, \sigma_m$ son las k-celdas de $X$. Definimos una operación suma sumando dos expresiones componente a componente: $$ (x^1 \sigma_1 + \dots + x^m \sigma_m) + (y^1 \sigma_1 + \dots + y^m \sigma_m ) = (x^1+y^1) \sigma_1 + \dots + (x^m + y^m) \sigma_m $$ Las k-cadenas con la suma forman un grupo que designaremos por $C_k(X).$

Sea $\rho$ una k-celda y $(g, f)$ su aplicación característica. El borde de la k-celda $\rho$ es una (k-1)-cadena: $\partial \rho = x^1 \sigma_1 + \dots + x^m \sigma_m$ cuyos coeficientes $X_j$ son el número de veces que la (k-1)-celda $\sigma_j$ es recorrida por $f(S^{k-1}) ,$ contando cada una con signo positivo o negativo según la orientación de la (k-1)-celda coincida o no con la orientación inducida por la de $\rho .$

Por ejemplo, en el espacio celular (b), la 2-celda $\sigma$ está adjuntada por una aplicación $f$ que no recorre ninguna 1-celda. Por tanto, $\partial\sigma = 0.$

En el espacio celular ( c) si $a_1$, $a_2$ son las 0-celdas; $\sigma_1 ,$ $\sigma_2$ son las 1-celdas; y $\rho_1$, $\rho_2$ son las 2-celdas: $$ \partial \sigma_1 = a_2 - a_1, \quad \partial \sigma_2 = a_1 - a_2,\quad \partial \rho_1 = \sigma_1 + \sigma_2, \quad \partial \rho_2 = - \sigma_1 - \sigma_2 $$ con las orientaciones indicadas en la figura. Los bordes de las 0-celdas son siempre 0.

Definimos la aplicación borde como: $$ \begin{array}{rccc} \partial : & C_k(X) & \longrightarrow & C_{k-1}(X) \\ &c = x^1 \sigma_1 + \dots + x^m \sigma_m & \mapsto & \partial c = x^1 \partial \sigma_1 + \dots + x^m \partial \sigma_m \end{array} $$ Se llama complejo de cadenas celulares de $X$ a la sucesión de grupos y aplicaciones $$ \dots C_{k+1}(X) \stackrel{\partial_{k+1}}{\longrightarrow} C_k(X) \stackrel{\partial_k}{\longrightarrow} C_{k-1}(X) \longrightarrow \dots \longrightarrow C_1(\pmb K) \stackrel{\partial_1}{\longrightarrow} C_0(X) \stackrel{\partial_0}{\longrightarrow} 0 $$ Se cumple que $\partial \partial = 0 .$ Por definición, los grupos de homología del espacio celular $X$ son $$ H_k(X) = Z_k(X) / B_k(X), \qquad Z_k(X) = \ker \partial_k, \qquad B_k = \text{im}\, \partial_{k+1} $$ $Z_k(X)$ es el grupo de k-ciclos. $B_k(X)$ es el grupo de k-bordes.


Ejemplos. El complejo de cadenas del espacio celular (b) es $$ 0 \longrightarrow C_2(X) = \mathbb Z \longrightarrow C_1(X) = 0 \longrightarrow C_0(X) = \mathbb Z \longrightarrow 0 $$ Por tanto, la homología es $H_2(X) = \mathbb Z$, $\;H_1(X) = 0$ y $\;H_0(X)= \mathbb Z .$

El complejo de cadenas del espacio celular ( c) es $$ 0 \longrightarrow C_2(X) = \mathbb Z^2 \stackrel{\partial_2}{\longrightarrow} C_1(X) = \mathbb Z^2 \stackrel{\partial_1}{\longrightarrow} C_0(X) = \mathbb Z^2 \longrightarrow 0 $$ Las matrices de las aplicaciones borde son $$ \partial_2: \quad \begin{pmatrix} 1 & -1 \\ 1 & -1 \end{pmatrix}, \qquad \partial_1: \quad \begin{pmatrix} 1 & -1 \\ -1 & 1 \end{pmatrix} $$ de donde $$ Z_2(X) = \ker \partial_2 = < (1,1) >, \qquad B_1(X) = \text{im}\,\partial_2 = < (1,1) >,\qquad \quad Z_1(X)=\ker \partial_1 = < (1,1) > $$ Por tanto, $H_2(X)=\mathbb Z$ generado por $\rho_1 + \rho_2 .$

$H_1(X) = 0$ y $H_0(X) = \mathbb Z \;$ generado por $a_0$.

La definición de las aplicaciones borde (y la propiedad que la composición de dos consecutivas es cero) se hace hoy en día en el contexto de la Homología Singular relativa. Volveremos a ella más tarde, en Homologia Celular Revisada, aquí solo pretendíamos una aproximación intuitiva de como funciona.