Los grupos de homotopía y de homología

Irene Llerena



Grupos de homología



Homología celular revisada


Vamos a definir ahora la homología de un espacio celular via la homología singular, con lo que se evitan las impresiciones de la definición que dimos anteriormente (aquí) y que permite, además, probar que coincide con la homología singular del espacio.

El punto esencial es el estudio de como cambia la homología de un espacio topológico $X$ al adjuntarle una n-celda. Sea $$ (g, f) : (E^n, S^{n-1}) \longrightarrow (X, X\cup_f e^n) $$ la aplicación característica de la celda. Para simplificar la notación pondremos $X_f = X \cup_f e^n .$

La aplicación $(g,f)$ induce un isomorfismo entre los grupos de homología $$ g_* : H_k(E^n, S^{n-1}) \cong H_k(X_f, X) $$ para todo $k .$

La bola $E^n$ es contráctil y, de la sucesión de homología del par $(E^n, S^{n-1}) ,$ se deduce que $$ H_k(E^n, S^{n-1}) = 0, \quad \text{ si } \; k \not=n, \qquad H_n(E^n, S^{n-1}) = \mathbb Z $$ Así pues, $ \; H_k(X_f, X) = 0 ,$ si $k \not= n .$ Si consideramos ahora la sucesión del par $(X_f, X)$ obtenemos que los grupos de homología de $X_f$ son los mismos que los de $X :$ $\, H_k(X) \cong H_k(X_f)\,$ salvo quizás en dimensiones $n$ y $n-1$, donde tenemos $$ \begin{array}{ccccccc} 0 \longrightarrow H_n(X) \stackrel{\varphi}{\longrightarrow} & H_n(X_f) & \stackrel{\psi}{\longrightarrow}& H_n(X_f, X) & \stackrel{\Delta}{\longrightarrow} & H_{n-1}(X) & \stackrel{\varphi}{\longrightarrow} H_{n-1}(X_f) \longrightarrow 0 \\ & & & \cong \uparrow g_* & & \uparrow f_* & \\ & 0 & \stackrel{\psi}{\longrightarrow} & H_n(E^n, S^{n-1}) & \stackrel{\cong}{\longrightarrow} & H_{n-1}(S^{n-1}) = \mathbb Z \end{array} $$ $\Delta$ envia el generador de $H_n(X_f, X) = \mathbb Z$ a la imagen por $f_*$ del generador de $S^{n-1} .$ Si esta imagen es distina de 0 (es decir, si no es borde) $\ker\Delta =0$ y $$ H_n(X_f) \cong H_n(X), \qquad H_{n-1}(X_f) = H_{n-1}/\text{ im }\, f_* $$ Lo que quiere decir que la única variación en la homología es en dimensión $n-1$ en la que la celda ha anulado una cavidad.


           

Si $f_*$ envia el generador de $H_{n-1}(S^{n-1})\,$ a cero (es decir, a un borde) $\text{ im }\, \Delta = 0$ y se obtiene $$ H_n(X_f) \cong H_n(X) \times H_n(X_f, X) = H_n(X) \times \mathbb Z, \qquad H_{n-1}(X_f) \cong H_{n-1}(X) $$ Ahora es la homología $n-1$ la que no varia pero se ha formado una nueva cavidad en dimensión $n$.


El razonamiento anterior no sirve si se adjunta una celda de dimensión $n = 1$. En ese caso el diagrama válido es $$ \begin{array}{ccccccccc} 0 \longrightarrow H_1(X) \stackrel{\varphi}{\longrightarrow} & H_1(X_f) & \stackrel{\psi}{\longrightarrow}& H_1(X_f, X) & \stackrel{\Delta}{\longrightarrow}& H_0(X) & \stackrel{\varphi}{\longrightarrow} & H_0(X_f) & \longrightarrow 0 \\ & & & \cong \uparrow g_* & & \uparrow f_* & & \uparrow & \\ & 0 & \stackrel{\psi}{\longrightarrow} & H_1(E^1, S^0) & \stackrel{\Delta'}{\longrightarrow} & H_0(S^0) & \stackrel{\varphi}{\longrightarrow} & H_0(E^1)& \longrightarrow 0 \end{array} $$ Ahora la imagen de $ \Delta$ coincide con la imagen de la restricción de $f_*$ a la imagen de $\Delta'$ que es $[+1]-[-1]$ donde $+1$ y $-1$ son los puntos de $S^0 .$




Si los dos puntos unen componentes arco-conexas distinta de $X$, $\Delta$ es inyectiva, tiene núcleo 0, y $$ H_1(X_f) \cong H_1(X), \qquad H_0(X_f) \cong H_0(X)/\mathbb Z $$ el número de componentes conexas es una menos. Si los dos puntos de $S^0$ van a la misma arco-componente, la imagen de $\Delta$ es un borde, y aparece un nuevo camino cerrado $$ H_1(X_f) \cong H_1(X) \times \mathbb Z, \qquad H_0(X_f) \cong H_0(X) $$


Supongamos ahora que $X$ es un espacio celular $$ X^{(0)} \subset X^{(1)} \subset \dots \subset X^{(k-1)} \subset X^{(k)} \subset \dots \subset X^{(n)} = X $$ Cada $X^{(k)}$ se obtiene adjuntando un número finito de k-celdas a $X^{(k-1)} .$ El resultado mencionado más arriba (generalizado a la adjunción de un número finito de celdas) nos dice en este caso que el grupo $$ H_k(X^{(k)}, X^{(k-1)}) \cong \mathbb Z^m $$ donde $m$ es el número de k-celdas adjuntadas. Así pues este grupo es igual al grupo de cadenas celulares $C_k(X)$ que habíamos definido.

Definamos $$ \partial_k : \, C_k(X) = H_k(X^{(k)}, X^{(k-1)}) \stackrel{\Delta}{\longrightarrow} H_{k-1}(X^{(k-1)} \stackrel{\psi}{\longrightarrow} H_{k-1}(X^{(k-1)}, X^{(k-2)}) = C_{k-1}(X) $$ Es decir, dado $[z] \in C_k(X)$ tomamos un representante $z$ que es una cadena con borde en $X^{(k-1)}$ y tomamos como $ \partial [z]$ la clase de $\partial z$ en $C_{k-1}(X)$. Esto coincide con lo que se hacía en el complejo de cadenas de un espacio celular; ahora la definición es más concreta y más general. Además permite una demostración de que la homología del complejo celular coincide con la homología singular de $X .$

La homología del complejo de cadenas de un espacio celular $X$ coincide con la homología singular de $X$.

Naturalmente, esto sirve también para los poliedros, lo que prueba que la homología simplicial solo depende del espacio realización del poliedro y no de la descomposición en símplices, ni de su orientación. Por otra lado, permite calcular la homología de un espacio $X$ buscando un poliedro cuya realización sea homeomorfa a $X$ (o homotópicamente equivalente) y calculando la correspondiente homología simplicial.


Característica de Euler


Se llama característica de Euler de un espacio celular$X$ a la suma alternado del número $n_i$ de celdas en cada dimensión $i :$ $$ \chi(X) = \sum_{i=0}^n (-1)^i n_i $$

La homología de un espacio celular finito es un grupo conmutativo finito generado, y consta de una parte libre $\mathbb Z^r$ y unos cuantos grupos $\mathbb Z/(d) .$ Al número $r$ de $\mathbb Z$'s se le llama rango del grupo.

La característica de Euler coincide con la suma alternada de los rangos de los grupos de homología: $$ \chi(X) = \sum_{i=0}^n (-1)^i n_i = \sum_{i=0}^n (-1)^i\; rango\, H_i(X) $$

En particular, resulta que la característica de Euler no depende de la descomposición de espacio en celdas.