Los grupos de homotopía y de homología

Irene Llerena


Grupos de homología



Homología grafos


Otra consecuencia del Teorema de Excisión es un resultado que facilita encontrar el número de caminos cerrados de un grafo.

Un grafo es un espacio celular $X$ de dimensión uno. Es decir un conjunto de vértices y curvas homeomorfas a segmentos abiertos con extremos en los vértices (en uno o en dos). que no se cortan. Un grafo es conexo si dos vértices pueden unirse siempre por un camino de aristas.
Un árbol es un grafo conexo contráctil.

Se puede demostrar fácilmente que cualquier grafo tiene una realización en $\mathbb R^3 .$

Consideraremos solo el caso de grafos finitos conexos.

Un grafo finito conexo $X$ tiene todos los grupos de homología cero salvo los de dimensión 0 y 1. Por ser conexo $H_0(X) = \mathbb Z .$ El grupo $H_1(X)$ es siempre un grupo libre $\mathbb Z^m$ (puesto que no existen símplices de dimensión 2) donde $m$ es el número de caminos cerrados esencialmente distintos del grafo. Nuestro objetivo es calcular $m .$

Para calcular $m$ empezamos por construir un subgrafo contráctil $T \subset X$ que contenga todos los vértices. Para ello procedemos de la siguiente forma:

1. Escojemos un vértice $v_1 .$ Si $X$ solo tiene este vértice, tomamos como $T$ este vértice.

2. Si $X$ tiene más de un vértice, $v_1$ es extremo de una arista con extremo en otro vértice $v_2$ (por ser $X$ conexo).

3. Si $X$ tiene más vértices, existe una arista con extremo en $v_1$ o $v_2$ con extremo en otro vértice $v_3$ distinto a estos dos.

4. Repetimos el proceso añadiendo vértices y aristas con un extremo en uno de los vértices considerados y el otro extremo distinto a los que ya hayamos tomado. El proceso puede seguirse siempre que haya vértices que no hemos tomado, puesto que al ser $X$ conexo algún camino de aristas lo tienen que unir a los que tenemos.
5. Así pues, el proceso acaba cuando hayamos tomado todos los vértices. $T$ es el subgrafo formado por todos los vértices de $X$ y las aristas que hayamos tomado.

Sea $m$ es el número de aristas que no están en $T$. Resulta que $$ H_1(X) = \mathbb Z^m $$ El motivo es que al ser $T$ contráctil (es decir un árbol) la sucesión del par $(X, T)$ es $$ 0 \longrightarrow H_1(X) \longrightarrow H_1(X, T) \stackrel{\Delta}{\longrightarrow} H_0(T) \stackrel{\varphi}{\longrightarrow} H_0(X) \stackrel{\psi}{\longrightarrow} H_0(X, T) \longrightarrow 0 $$ $\varphi$ es un isomorfismo (cualquier vértice es generador de ambos grupos). Por tanto $\text{im}\,\Delta = \ker \varphi = 0 ,$ y $$ H_1(X) \cong H_1(X, T) $$ Podemos ahora aplicar la siguiemte consecuencia del Teorema de Excisión:

Sea $A$ un subespacio cerrado de $X$ contenido en un abierto $A \subset V$ del que $A$ sea retracto de deformación. Sea $X/A$ el espacio cociente de $X$ que reduce $A$ a un punto. La proyección $\pi: X \to X/A$ induce isomorfismos $$ H_n(X,A) \cong H_n(X/A), \quad \text{si}\; n \not = 0, \qquad \quad H_0(X,A) \times \mathbb Z \cong H_0(X/A) $$

$T$ cumple las condiciones de este resultado. Como abierto $V$ podemos "engordar" $T$ con trozos abiertos de las $m$ aristas que no están en $T$; o bien, tomar como $V$ todo el grafo $X$ salvo el punto central de las aristas que no están en $T$. Por otra parte, $X/T$ consta de punto (al que se reduce $T$) y $m$ aristas con extremos en ese punto. Es decir, $X/T$ es la unión de $m$ circunferencias con un punto común. Denotamos este espacio por $S^1\vee \overset{m}{\dots}\vee S^1 .$ Por tanto $$ H_1(X) \cong H_1(X, T) \cong H_1(X/T) \cong H_1(S^1\vee \overset{m}{\dots}\vee S^1) = \mathbb Z^m $$


Grafo y un subgrafo que es un &aacuterbol

Los 1-símplices que dan una vuelta a una de las circunferencias son un sistema de generadores de $H_1(X/T)$. Antiimágenes de estos 1-símplices forman un sistema de generadores de $H_1(X)$. Estas antiimágenes son cadenas formadas por el 1-símplice correspondiente y 1-símplices de $T$ que unan sus extremos. En el ejemplo de la figura las cadenas $$ \begin{array}{l} a_1\\ a_2 + < v_2, v_1>+< v_1, v_3> \\ a_3 + < v_2, v_1> + < v_1, v_3> \\ a_4 + < v_7, v_8> + < v_8, v_2> + < v_2, v_1> + < v_1, v_4> + < v_4, v_6> \\ a_5 + < v_5, v_4> + < v_4, v_6> \end{array} $$ son representantes de un sistema de generadores de $H_1(X) .$


Por ser contráctil, la característica de Euler de un árbol $T$ es $\, \chi (T) = rango \; H_0(T) = 1$. Y, recíprocamente, si un grafo tiene característica de Euler 1, se trata de un grafo.

En general, si un grafo conexo tiene $v$ vértices y $a$ aristas, $$ v-a = 1 - rango\; H_1(X) \quad \Rightarrow\quad H_1(X) = \mathbb Z^{1-v+a} $$