Los grupos de homotopía y de homología

Irene Llerena


Grupos de homología



Núcleo e imagen de un morfismo


Un grupo se dice que es conmutativo si el resultado de operar dos elementos no depende del orden en que se tomen. En estos casos se suele designar la operación con el signo + y se llama suma. Al elemento neutro se le llama cero (0), y al inverso de un elemento $x$ se le indica por $-x$ y se llama opuesto. En todo lo que sigue, los grupos son conmutativos y emplearemos esta notación.

Una aplicación entre dos grupos conmutativos $ f: A \to B$ se llama morfismo si la imagen de una suma es la suma de las imágenes: $f(x + y) = f(x) + f(y)$.

Sea $f: A \to B$ un morfismo entre dos grupos conmutativos. Se llama núcleo de $f$ al conjunto de elementos de se aplican en el cero. Se designa por $\ker f$. Resulta ser un grupo con la suma, es decir un subgrupo de $A$.
Se llama imagen de $f$ al conjunto de elementos que son imagen de algún elemento. Se designa por $\text{img}\, f$. Resulta ser un grupo con la suma, es decir, un subgrupo de $B$.


Sea $\pmb K$ un poliedro y $$ \dots C_{k+1}(\pmb K) \stackrel{\partial_{k+1}}{\longrightarrow} C_k(\pmb K) \stackrel{\partial_k}{\longrightarrow} C_{k-1}(\pmb K) \longrightarrow \dots \longrightarrow C_1(\pmb K) \stackrel{\partial_1}{\longrightarrow} C_0(\pmb K) \stackrel{\partial_0}{\longrightarrow} 0 $$ su complejo de cadenas simpliciales. La composición de dos de estas aplicaciones es 0, lo que equivale a decir que la imagen de un elemento se aplica en cero por la aplicación siguiente: $\text{im}\, \partial_{k+1} \subset \ker \partial_k$.

Designaremos por $Z_k(\pmb K)$ al grupo $\ker \partial_k$. Sus elementos se llaman ciclos de dimensión k. Designaremos por $B_k(\pmb K)$ al grupo $\text{img}\, \partial_{k+1}$. Sus elementos se llaman bordes de dimensión k.

Nuestro objetivo es encontrar los ciclos que no son bordes. Pero no absolutamente todos los ciclos porque, todos los ciclos obtenido sumando a uno de ellos el borde de una suma de símplices, los contaremos como uno. Por ejemplo, en el poliedro de la figura

si se suma al ciclo de aristas rojo el borde de todos los triángulos, $t_j,$ se obtiene el ciclo de aristas en verde. En efecto, las aristas comunes a dos triángulos aparecen con signos opuestos al hacer el borde de la suma de todos los triángulo, por tanto este borde es: $$ \begin{array}{ll} \partial(\sum_j t_j) & = < b_1,b_2 > + < b_2,b_3 >+ < b_3,b_4 > + < b_4,b_1 > \\ & - \left( < a_1,a_2 > + < a_2,a_3 > + < a_3,a_4 >+< a_4, a_1> \right) \end{array} $$ Contaremos pues estos dos ciclos como uno solo. El motivo está claro, ya que los dos ciclos bordean al mismo agujero.

Para traducir esto al lenguaje matemático se utiliza el "grupo cociente" de los dos prupos.



Grupo cociente


Sea $B$ un subgrupo de $A$. Agrupemos los elementos de $A$ es conjuntos, cada uno de los cuales contengan todos los elementos cuya diferencia es un elemento de $B$. En otras palabras, son conjuntos obtenido sumando a un $a \in A$ todos los elementos de $B$: $\, a + B$. Obtenemos así una partición de $A$, esto es, una familia de subconjuntos disjuntos cuya unión es $A$.

Ejemplo 1. Sea $(3)$ el conjunto de los enteros múltiplos de 3, que es un subgrupo de $\mathbb Z$. Podemos formar tres conjuntos o clases $$ \begin{array}{l} 0 + (3) = \{ \dots -6, -3, 0, 3, 6 \dots \} \\ 1 + (3) = \{ \dots -5, -2, 1, 4, 7, \dots \} \\ 2 + (3) = \{ \dots -4, -1, 2, 5, 8, \dots \} \end{array} $$ Observemos que si sumamos a otro entero los múltiplos de tres, obtenemos siempre uno de estos conjuntos. Estos conjuntos, que se suelen llamar clases (de equivalencia), quedan determinados dando uno cualquiera de sus elementos; diremos que este elemento es un representante de la clase.

Ejemplo 2. Sea $B = \{(n,n,n) \mid n \in \mathbb Z\} \subset \mathbb Z^3$. Cualquier $(a,b,c) \in \mathbb Z^3$ se puede escribir como $(a-c, b-c, 0) + (c,c,c)$. Así pues, los conjuntos de la partición son, en este caso, los conjuntos de la forma $ (n,m,0) + B$. Cada clase tiene un único representante con la tercera coordenada 0. El conjunto de clases están en correspondencia biyectiva con $\mathbb Z^2$.

Sea $B$ un subgrupo de $A$. Se llama grupo cociente de $A$ por $B$ al conjunto de clases $a + B$ con la operación $$ (a+B) + (a' + B) = (a+a')+B $$ Con esta operación, el conjunto de clases es un grupo que designaremos por $A/B.$

Si no hay peligro de confusión sobre cual es el grupo $B$, utilizaremos la notación más cómoda: $\,[a] = a+B$

Ejemplo 1 (de nuevo). La tabla de la suma en $\mathbb Z / (3)$ es $$ \begin{array}{c|ccc} + & [0] & [1] & [2] \\ \hline [0] & [0] & [1] & [2] \\ \hline [1] & [1] & [2] & [0] \\ \hline [2] & [2] & [0] & [1] \\ \hline \end{array} $$ Por ejemplo, $[2]+[3] = [5] = [2]$, puesto que el 5 y el 2 representan la misma clase.

Ejemplo 2 de nuevo. Tenemos $$ [(a,b,0)] + [(n,m,0)] = [(a+n, b+m, 0)] $$ En este caso la biyección $[(n,m,0)] \leftrightarrow (n,m)$ es un isomorfismo: $\,\mathbb Z^3 /B \cong \mathbb Z^2$.


A muchos les resulta confuso el tratar con el conjunto cociente porque sus elementos son a su vez conjuntos. Sin embargo, realmente todos nos hemos encontrado ya antes con esta situación muchas veces. Pensemos por ejemplo en las rectas del plano paralelas a una recta $r$ dada. Cualquier paralela a $r$ se obtiene sumando a un punto, todos los vectores de $r$. El conjunto de rectas paralelas a $r$ es un conjunto cociente. También los números racionales: cada racional se puede considerar como un conjunto de fracciones. Dos fracciones $a/b$ y $a'/b'$ representan el mismo racional si $ab'=a'b.$


El grupo cociente nos da una medida de la diferencia entre el grupo $A$ y el subgrupo $B$. Casos extremos son:
Si $A=B$ el grupo cociente solo consta de un elemento, la clase $[0]$.
Si $B = \{0\}$, entonces la clase $[x]$ contiene solo a $x$ y tenemos un isomorfismo $A/B \cong A$.



Homología simplicial


Sea $\pmb K$ un poliedro y sea $$ \dots C_{k+1}(\pmb K) \stackrel{\partial_{k+1}}{\longrightarrow} C_k(\pmb K) \stackrel{\partial_k}{\longrightarrow} C_{k-1}(\pmb K) \longrightarrow \dots \longrightarrow C_1(\pmb K) \stackrel{\partial_1}{\longrightarrow} C_0(\pmb K) \stackrel{\partial_0}{\longrightarrow} 0 $$ su complejo de cadenas simpliciales. Se llama k-ésimo grupo de homología de $\pmb K$ al grupo cociente $$ H_k(\pmb K) = \ker \partial_k/\text{im}\, \partial_{k+1} = Z_k(\pmb K) / B_k(\pmb K) $$

En particular, todos los vértices son 0-ciclos y, si dos vértices $v_1$ y $v_2$ están unidos por un camino, la diferencia de esos vértices es el borde del camino, es decir pertenecen a la misma clase de $C_0(\pmb K) / B_0(\pmb K) = H_0(\pmb K)$. De aquí resulta que

$H_0(\pmb K) = \mathbb Z^k$, donde $k$ es el número de componentes arco-conexas de (la realización de ) $\pmb K$.

Ejemplo. Vamos a calcular la homología del poliedro de la figura con las orientaciones indicadas:

Poliedro K

El complejo de cadenas es $\; 0 \longrightarrow C_2(\pmb K) \stackrel{\partial_2}{\longrightarrow} C_1(\pmb K) \stackrel{\partial_1}{\longrightarrow} C_0(\pmb K) \longrightarrow 0 $ con $$ \begin{array}{lclcl} \partial_2 c = \alpha_1 + \alpha_2 + \alpha_3 & \quad & \partial_1 \alpha_1 = -a_0+a_1 & \quad &\partial_1 \alpha_2 = -a_1+a_2 \\ \partial_1 \alpha_3 = a_0-a_2 && \partial_1 \alpha_4 = -a_2+a_3 && \partial_1 \alpha_5 = a_1-a_3 \end{array} $$ Los grupos de cadenas son:
$C_2(\pmb K) = \mathbb Z,\quad$ donde $c$ corresponde al 1.
$C_1(\pmb K) = \mathbb Z^5, \quad $ donde $\alpha_j$ es la 5-epla de ceros con un 1 en el puesto j.
$C_0(\pmb K) = \mathbb Z^4, \quad $ donde $a_j$ es la 4-epla de ceros con un 1 en el puesto j.

Si utilizamos la notación $0 \to \mathbb Z \overset{\partial_2}{\to} \mathbb Z^5 \overset{\partial_1}{\to} \mathbb Z^4 \to 0$, tenemos $$ \begin{array}{lcl} \partial_2 (1) = (1,1,1,0,0) &\quad & \partial_1 (1,0,0,0,0) = (-1, 1,0,0) \\ \partial_1 (0,1,0,0,0) = (0,-1,1,0) & & \partial_1 (0,0,1,0,0) = (1,0,-1,0) \\ \partial_1 (0,0,0,1,0) = (0,0,-1,1) & & \partial_1 (0,0,0,0,1) = (0, 1,0,-1) \end{array} $$ Las imágenes del resto de elementos $xc$ y $x^1\alpha_1 + x^2\alpha_2 + x^3\alpha_3 + x^4\alpha_4 + x^5\alpha_5$ se obtienen multiplicando estas n-plas por una matriz: $$ \partial_2 (x) = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} x \qquad \qquad \partial_1 \begin{pmatrix} x^1 \\ x^2 \\ x^3 \\ x^4 \\ x^5 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -1 & 0 & 1 & 0 & 0 \\ 1 & -1 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & -1 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & -1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x^1 \\ x^2 \\ x^3 \\ x^4 \\ x^5 \end{pmatrix} $$

Así pues el cálculo de los grupos de homología se reduce al cálculo de núcleos e imágenes de morfismos $\mathbb Z^n \to \mathbb Z^m$ definidos por matrices enteras.

En nuestro ejemplo resulta que $\ker \partial_1$ es el conjunto de cadenas $n \beta + m \gamma$, con $n, m \in \mathbb Z$ y $$ \beta = \alpha_1 + \alpha_2+\alpha_3 = (1,1,1,0,0), \qquad \gamma = \alpha_2+\alpha_4+\alpha_5 = (0,1,0,1,1) $$ $\beta$ es precisamente el borde de $c$. Por tanto, los elementos de $\ker \partial_1 / \text{im}\,\partial_2$ son de la forma $[m\gamma] = m\gamma + \text{im}\, \partial_2$. Un representante de esta clase tanto lo es el elemento $\gamma$ como los obtenidos sumándole cualquier cadena que sea borde, geométricamente, cualquier cadena que bordee una unión de triángulos; por ejemplo $$ \gamma - \beta = (\alpha_1 + \alpha_2 + \alpha_3) - (\alpha_2 + \alpha_4 + \alpha_5) = \alpha_1-\alpha_5-\alpha_4+\alpha_3 $$ El grupo 1 de homología es $H_1(\pmb K) = \mathbb Z$.

Si queremos poder calcular grupos de homología sin recurrir a ningún programa que los calcule por nosotros, necesitamos aprender a manejar estas aplicaciones definidas por matrices enteras, y a calcular los cocientes. De todas formas, ya vemos que estas matrices pueden ser enormes y, por tanto, intratables sin un programa adecuado.