Los grupos de homotopía y de homología

Irene Llerena


Grupos de homología



Homología Singular


Al hablar de los grupos de homología de los poliedros hicimos notar que dos poliedros con la misma realización tienen los mismos grupos de homología. Lo mismo pasa con los espacios celulares como pudimos comprobar en dos de los ejemplos para los que calculamos sus grupos de homología. La demostración de este hecho se hace complicada. Para comparar los grupos de homología de dos poliedros se empieza por probar que si descomponemos los símplices en símplices más pequeños los grupos no varían. Así, dados dos poliedros con la misma realización podríamos intentar ver si tienen alguna subdivisión común a ambos.

La Homología Singular cambia el punto de vista y en vez de tomar símplices o celdas como los ladrillos que construyen el espacio, toma las funciones continuas de los símplices en el espacio, todas las funciones. El espacio puede ser ahora un espacio topológico cualquiera. Naturalmente, el complejo de cadenas que ahora resulta es tremendamente grande. Imposible tratar directamente con él. Sin embargo este enfoque permite demostrar fácilmente cuestiones teóricas como el que todos los espacios homeomorfos tienen los mismos grupos de homología. Y permite además demostrar que en el caso de poliedros o espacios celulares, se obtienen los mismos grupos que ya hemos definido. Así pues, podemos utilizar complejos simpliciales o celulares para los cálculos, y sabemos de su invariancia topológica porque también se trata de grupos de homología singular.


Se llama n-símplice geométrico estándar al siguiente subespacio de $\mathbb R^{n+1}$ $$ \Delta^n = \{(t_0,\dots, t_n) \mid \sum_j t_j = 1, \; t_j \geq 0, \; j=0, \dots, n \} $$

Los n-símplices estándar $\Delta^n$ son homeomorfos a los n-símplices $ < a_0,\dots, a_n > $ que definimos como subespacios de $\mathbb R^n$ al definir los poliedros: $$ h: \Delta^n \longrightarrow < a_0, \dots, a_n >, \qquad h(t_0, \dots, t_n) \mapsto x = t_0a_0 + \dots + t_n a_n, \qquad (\text{es decir } \; \vec{a_0x} = t_1 \vec{a_0a_1} + \dots + t_n \vec{a_0a_n}) $$



Sea $X$ un espacio topológico. Se llama n-símplice singular de dimensión n o n-símplice de $X$ a las aplicaciones continuas $\sigma: \Delta^n \to X .$

Se llaman cadenas de dimensión n o n-cadenas a las expresiones finitas $$ \sum_{j=1}^k x_j \sigma_j, \qquad n_j \in \mathbb R, \qquad \sigma_j \quad \text{n-símplice singular} $$ Se define la suma de dos cadenas componente a componentes. Es decir, dadas dos cadenas añadimos sumandos con coeficientes 0 para que en ambas aparezcan los mismos n-símplices singulares, y entonces sumamos componente a componente.

Las aplicaciones cara de un n-símplice estándar son las aplicaciones $$ \delta_j : \Delta^{n-1} \longrightarrow \Delta^n, \qquad \delta_j(t_0, \dots, t_n) = (t_0, \dots, t_{j-1},0,t_j, \dots, t_n) $$

Se llama complejo de cadenas singulares de $X$ a los grupos $S_n(X)$ junto con los morfismos $$ \dots \longrightarrow S_{n+1}(X) \stackrel{\partial_{n+1}}{\longrightarrow} S_n(X) \stackrel{\partial_n}{\longrightarrow} S_{n-1}(X) \longrightarrow \dots \longrightarrow S_0(X) \longrightarrow 0 $$ Sobre los n-símplices singulares se define $$ \partial_n(\sigma) = \sum_{j=0}^n (-1)^j \, \sigma\circ\delta_j $$ y se extiende a las cadenas por linealidad: $$ \partial_n(x_1 \sigma_1 + \dots + x_k \sigma_k) = x_1 \partial_n(\sigma_1) + \dots + x_k \sigma_k $$ Se cumple $\; \partial_n \partial_{n+1} = 0 \;$ para todo n. Es decir, $\text{im}\;\partial_{n+1} \subset \ker \partial_n .$

La figura muestra una cara singular de un 2-símplice:



Los elementos de $Z_n(X) = \ker \partial_n$ se llaman ciclos singulares de dimensión n.
Los elementos de $B_n(X) = \text{im}\,\partial_{n+1}$ se llaman bordes singulares de dimensión n.
Los grupos de homología singular de $X$ son los grupos cociente $$ H_n(X) = Z_n(X) / B_n(X) $$

El grupo de dimensión 0 resulta ser $H_0(X) = \mathbb Z^k ,$ donde $k$ es el número de componentes arco-conexas de $X .$

Ejemplo. La homología de un punto $X = \{x\}$ es la única que podemos calcular directamente, puesto que, para cada n, solo existe una aplicación $ \sigma_n: \Delta^n \to \{x\} .$ El borde de este símplice es $$ \partial \sigma_n = \partial_n(\sigma_n) = \sum_{j=0}^n (-1)^j \, \sigma_n\circ\delta_j = \left( \sum_{j=0}^n (-1)^j\right)\sigma_{n-1} = \left\{ \begin{array}{rcl} 0 & \; \text{si} \; & n \;\text{impar} \\ 1 & \; \text{si} \; & n \;\text{par} \end{array} \right. $$ Así pues, el complejo de cadenas singulares es $$ \dots \longrightarrow \mathbb Z \stackrel{0}{\longrightarrow} \mathbb Z \stackrel{1}{\longrightarrow} \mathbb Z \stackrel{0}{\longrightarrow} \mathbb Z \longrightarrow \dots \mathbb Z \stackrel{0}{\longrightarrow} \mathbb Z \longrightarrow 0 $$ En todos los casos la imagen (bordes) es igual al núcleo (ciclos) y la homología es 0, $H_n(x) = 0 ,$ salvo en el último caso en que $H_0(x) = \mathbb Z .$


Invariancia tolopógica y homotópica


Si $f: X \to Y$ es una aplicación continua, cualquier símplice singular $\sigma: \Delta^n \to X$ da lugar a un símplice singular $f_*(\sigma) = f \circ \sigma: \Delta^n \to Y$ que se extiende a un morfismo Entre los grupos de cadenas definido por $$ f_* \left( \sum_j n_j \sigma_j \right) = \sum_j n_j f_*(\sigma) $$ y a un morfismo entre los complejos de cadenas de $X$ y $Y :$ $$ \begin{array}{ccccccccccc} \dots\longrightarrow & S_{n+1}(X) & \stackrel{\partial_{n+1}}{\longrightarrow} & S_n(X) & \stackrel{\partial_n}{\longrightarrow} & S_{n-1}(X) & \longrightarrow & \dots & \longrightarrow & S_0(X) & \longrightarrow 0 \\ & \downarrow f_* & & \downarrow f_* & & \downarrow f_* & & & & \downarrow f_* & \\ \dots\longrightarrow & S_{n+1}(Y) & \stackrel{\partial_{n+1}}{\longrightarrow} & S_n(Y) & \stackrel{\partial_n}{\longrightarrow} & S_{n-1}(Y) & \longrightarrow & \dots & \longrightarrow & S_0(Y) & \longrightarrow 0 \end{array} $$ que conmuta con las aplicaciones borde: $f_*\circ \partial = \partial\circ f_* .$ En particular, $f_*$ aplica ciclos en ciclos y bordes en bordes. Y también induce un morfismo entre los grupos de homología $$ f_* : H_n(X) \longrightarrow H_n(Y), \qquad f_*( [z] ) = [ f_*(z)] $$


De la definición resulta claramente que $$ (g \circ f)_* = g_* \circ f_*, \qquad (Id_X)_* = Id_{S_n(X)} $$ Una consecuencia importante de esto es que si $X$ e $Y$ son homeomorfos, es decir si tenemos un homeomorfismo $f: X \to Y$ y $g = f^{-1}$ $$ g_* \circ f_* = (g\circ f)_* = (Id_X)_* = Id_{H_n(X)} $$ las aplicaciones inducidas $f_*$ y $g_*$ son isomorfismos.

Espacios homeomorfos tienen los mismos grupos de homología singular.


Recordemos (ver el apartado de retractos) que dos espacios son homotópicamente equivalentes si existen aplicaciones $f: X \to Y ,$ $g: Y \to X$ tales que las composiciones $g\circ f$ son homótopas a la identidad. Esto, junto con el resultado:

Dos aplicaciones homótopas inducen los mismos morfismos entre los grupos de homología.

y un razonamiento casi idéntico al caso de homeomorfismos, permite demostrar que

Espacios homotópicamente equivalentes tienen los mismo grupos de homología.

En particular, los espacios contráctiles, que son los espacios homotópicamente equivalentes a un punto, tienen todos los grupos de homología 0, salvo el de dimensión 0 que es $\mathbb Z .$



Las imágenes de símplices son arco-conexas. Si el espacio es unión de varias componentes conexas $X = X_1\cup \dots \cup \cup X_k ,$ las cadenas de $X$ son suma de cadenas de las componentes $X_j ,$ los ciclos de $X$ son suma de ciclos de sus componentes: $z= z_1 + \dots + z_k $ y resulta $$ H_n(X) \cong H_n(X_1) \times \dots\times H_n(X_k), \qquad \qquad [z] \leftrightarrow \left( [z_1], \dots, [z_k]\right) $$



Si $X$ es arco-conexo, la diferencia de cualquier par de puntos $q - p ,$ es borde de un 1-símplice $\sigma$ que describe un camino que los une. Por tanto, $\partial \sigma = q-p$ y los dos puntos determinan la misma clase de homología. Es decir, $H_0(X) = \mathbb Z .$



En la próxima sección nos ocuparemos de la relación que hay entre las 1-cadenas y los caminos cerrados, y entre $H_1(X)$ y $\pi(X,x_0) .$