Los grupos de homotopía y de homología

Irene Llerena


Grupos de homología



Grupos conmutativos finito generados

Sea $G$ un grupo conmutativo. Se dice que $G$ es finito generado si existe un número finito de elementos $g_1, \dots, g_m \in G$ tales que cualquier otro elemento $x \in G$ es combinación lineal de ellos, es decir, se puede expresar en la forma $$ x = x^1 g_1 + \dots + x^m g_m, \qquad x^1, \dots, x^m \in \mathbb Z $$ Al conjunto $\{g_1, \dots, g_m\}$ se le llama sistema de generadores.

Utilizamos la notación usual: si $n$ es un entero positivo $ng$ es la suma de $n$ veces $g$: $ng = g + \overset{n)}{\dots} g$. Si $n$ es un entero negativo $ng$ es la suma de $|n|$ veces $-g$. Si $n=0$, $ng$ es el cero del $G$.


Ejemplos. 1. $\mathbb Z$ es finito generado. $\{1\}$ es un sistema de generadores (con un solo generador). $\{ -1 \}$ también es un sistema de generadores de $\mathbb Z$.

2. Definimos en una sección anterior el grupo cociente $\mathbb Z/(3)$, con tres elementos: $[0]$, $[1]$ y $[2]$. La tabla de la suma es
$$ \begin{array}{c|ccc} + & [0] & [1] & [2] \\ \hline [0] & [0] & [1] & [2] \\ \hline [1] & [1] & [2] & [0] \\ \hline [2] & [2] & [0] & [1] \\ \hline \end{array} $$ El elemento $[1]$ genera este grupo.

El elemento $[2]$ también lo genera puesto que $[0] = 0[2]\;$ y $\;[1]=[2]+[2] = 2[2]$.

3. En general, para cualquier entero $m$ podemos hacer el cociente de $\mathbb Z$ por el conjunto $(m)$ de múltiplos de $m$: $\mathbb Z/(m)$. Este grupo está generado por la clase $[1]$ y tiene $m$ elementos: $[0], [1], \dots, [m-1]$. Si $n < m$ es primo con $m$, el elemento $[n]$ también es un generador de $\mathbb Z/(m)$.



Grupos conmutativos libres

Los grupos $\mathbb Z^n$ son finito generados. El conjunto $$ e_1 = ( 1, 0, 0, \dots, 0), \quad e_2 =(0,1,0,\dots, 0), \quad \dots \quad e_n = (0,0,0,\dots, 1) $$ es un sistema de generadores. Cualquier elemento de $\mathbb Z^n$ se expresa de manera única como combinación lineal de estos generadores.

Un sistema de generadores, $\{h_1, \dots, h_n\}$ se llaman libre si la manera de expresar un elemento como combinación lineal de ellos es única. En particular, la única combinación lineal que representa el 0 es la que tiene todos los coeficientes iguales a cero. (Es fácil comprobar que si el cero tiene una expresión única, todos los elementos tienen un expresión única).

Los grupos $\mathbb Z/(m)$ no son libres porque $\; m\,[x] = [0] = 0\,[x]$, para cualquier elemento $[x]$.

Un grupo $G$ con un sistema de generadores libres $\{h_1, \dots, h_n\}$ se llama grupo libre. La aplicación $$ f: G \longrightarrow \mathbb Z^n, \qquad f(h_j) = e_j = (0, \dots, 1, \dots ,0) $$ (donde el 1 de la n-pla ocupa la posición j) es un isomorfismo. Es decir, los únicos grupos conmutativos libres finito generados son los grupos $\mathbb Z^n$.

Si $\{g_1, \dots, g_n\}$ es un sistema de generadores libre, también lo es si efectuamos uno de los siguientes cambios:
      (a) Intercambiamos la posición de dos de ellos.
      (b) Sustituimos un de ellos por su opuesto.
      ( c) Sumamos a uno de ellos un múltiplo de otro.

(a) Si $x =x^1g_1 + \dots + x^ng_n$, e intercambiamos $g_k$ y $g_h$, sus coeficientes se intercambian. El cambio que experimentan lo podemos representar por un producto matricial. Por ejemplo si intercambiamos los dos primeros $$ \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 & \dots & 0 \\ 1 & 0 & 0 & \dots & 0 \\ 0 & 0 & 1 & \dots & 0 \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & 0 & \dots & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x^1 \\ x^2 \\ x^3 \\ \vdots \\ x^n \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} x^2 \\ x^1 \\ x^3 \\ \vdots \\ x^n \end{pmatrix} $$ Podemos escribir esto de forma más general y compacta introduciendo las siguientes matrices: $I$ matriz identidad, $E_{i,j}$ matriz de ceros con un 1 en la posición (fila $i$, columna $j$). Con esta notación la matriz anterior es $E_{1,2} + E_{2,1} + (I - E_{1,1} - E_{2,2})$. En general, al intercambiar $g_i$ y $g_j$, los coeficientes cambían multiplicando por la matriz $\; P_{i,j} = E_{i,j} + E_{j,i} + I - E_{i,i} - E_{j,j}$.

(b) Si $x =x^1g_1 + \dots + x^ng_n$, cambiamos $g_k$ por $-g_k$ los nuevos coeficientes son los antiguos salvo el de la posición $k$ que cambia por su opuesto. En otras palabras, la matrix columna de los coeficientes hay que multiplicarla por la matriz $D_k$ que coincide con la matriz identidad salvo que el elemento k-ésimo de la diagonal es -1: $\,D_k = I - 2 E_{k,k}$.

( c) Si $x =x^1g_1 + \dots + x^ng_n$, cambiamos $g_k$ por $g_k - a g_h$, tenemos $$ x=x^1g_1 + \dots + x^k (g_k - a g_h) + \dots + (x^h + ax^k)g_h + \dots + x^ng_n $$ Los nuevos coeficientes se obtienen multiplicando por la matriz $ T_{h,k}(a) = I + a E_{h,k}$.

Resumiendo, los cambios (a), (b) y ( c) en un sistema de generadores libre, dan lugar a nuevos sistemas de generadores libres. Los coeficientes en el nuevo sistema se obtienen multiplicando los coeficientes en el sistema de partida por las matrices $P_{k,h}$, $D_k$ $T_{k,h}(a)$. Las dos primeras son inversas de ellas mismas; la inversa de la última es $T_{k,h}(-a)$.



Teorema de estructura de los grupos abelianos finito generados

Teorema. Cualquier grupo conmutativo finito generado es un producto de unos cuantos grupos $\mathbb Z$ y unos cuantos grupos del tipo $\mathbb Z/(d).$

Nuestro objetivo es explicar como se encuentra esta descomposición del grupo en producto.


Sea $G$ un grupo generado por los elementos $g_1, \dots, g_n$. Consideremos la aplicación $$ f: \mathbb Z^n \longrightarrow G, \qquad (1,0,0, \dots, 0)=e_1 \mapsto g_1, \quad\dots\quad (0,0,0,\dots, 1)=e_n \mapsto g_n $$ $f$ es exhaustiva (todo $x\in G$ es de la imagen) y conserva la suma, es decir, es un morfismo exhaustivo. Consideremos $\ker f$. Todos los elementos de la clase $x + \ker f$ tienen la misma imagen: $f(x)$. Esto nos define un isomorfismo (biyección que conserva la suma) $$ \mathbb Z^n /\ker f \cong G, \qquad [x] = x+\ker f \;\mapsto \; f(x) $$

Dos propiedades importantes de los grupos libres son:

Todos los sistemas de generadores de un grupo libre tienen el mismo número de generadores.

Todo subgrupo $H$ de un grupo conmutativo libre $G$ es libre y el número elementos de un sistema de generadores de $H$ es menor o igual que el número de elementos de un sistema de generadores de $G$.

El número de generadores de un subgrupo $H$ de un grupo libre $G$ puede coincidir con el número de generadores de $G$ sin que $H$ coincida con $G$. Por ejemplo, el subgrupo $(3) \subset \mathbb Z$ tiene un generador, el 3, al igual que $\mathbb Z$ generado por el 1.


En particular, el subgrupo $\ker f \subset \mathbb Z^n$ es un grupo libre. Sea $H = \{h_1, \dots, h_m\}$ un sistema de generadores, con $$ h_i = (a_i^1, \dots , a_i^n) = a_i^1 e_1 + \dots + a_i e_n, \qquad i = 1, \dots, m $$ Vamos a ver que podemos tomar un sistema de generadores libre $S = \{s_1, \dots, s_n\}$ de $\mathbb Z^n$ y un sistema de generadores libre $R = \{r_1, \dots, r_m\}$ de $\ker f$ de forma que $r_j = d_j s_j$, para $j = 1, \dots, m$.

Supongamos que hemos encontrado sistemas de generadores con estas condiciones. Entonces la siguiente aplicación es un isomorfismo $$ \varphi: \mathbb Z^n / \ker f \longrightarrow \mathbb Z/ (d_1) \times \dots \times \mathbb Z/(d_m)\times \mathbb Z \times \overset{n-m)}{\dots\dots\dots} \times \mathbb Z $$ $\varphi$ aplica la clase $[s_j]$ en la n-pla de ceros salvo la unidad en la posición $j$. Si $d_j = 1$, el cociente $\mathbb Z /(d_j) = [0]$ y puede suprimirse.


Se trata pues de explicar ahora como se modifican los sistemas de generadores para obtener unos con la propiedad que queremos.

Consideremos la matriz $A = (a_i^j)$ cuyas columnas son los coeficientes de la expresión de los generadores $h_i= a_i^1 e_1 + \dots + a_i e_n$ de $\ker f$ en función de los generadores de $\mathbb Z^n$. Utilizaremos la misma notación para indicar un elemento y la matriz formada por los coeficientes en la expresión como combinación lineal del sistema de generadores: $$ x = x^1 h_1 + \dots + x^m h_m \qquad \leftrightarrow \qquad x= \begin{pmatrix} x^1 \\ \vdots \\ x^n \end{pmatrix} $$ La matriz producto $Ax$ es la matriz del elemento en el sistema de generadores $L = \{e_1, \dots, e_n\}$ de $\mathbb Z^n$. La matriz $A$ se llama matriz del cambio del sistema de generadores $H$ al sistema $L$. Se trata pues de encontrar matrices de cambio de generadores $$ \begin{array}{ccccccc} \ker f & \stackrel{=}{\longrightarrow} & \ker f & \hookrightarrow & \mathbb Z^n & \stackrel{=}{\longrightarrow} & \mathbb Z^n \\ R=\{r_1,\dots, r_m\} & & H = \{h_1, \dots, h_m\} & & L = \{e_1,\dots, e_n\} & & S = \{s_1, \dots, s_n\} \\ & P & & A & & Q & \\ x & \mapsto & Px & \mapsto & APx & \mapsto & QAPx \end{array} $$ donde $x$ es una columna con los coeficientes de $x \in \ker f$ en el sistema $R$. Nuestro objetivo es encontrar matrices $P$ y $Q$ tales que $QAP = D$ sea una matriz diagonal (es decir ceros fuera de la diagonal), con $$ D = \begin{pmatrix} d_1 & & & & & \\ & \ddots & & & & \\ & & d_m & & & \\ & & & 0 & & \\ & & & & \ddots & \\ & & & & & 0 \end{pmatrix} $$ Para ello vamos a ir multiplicando $A$ a derecha e izquierda por matrices del tipo $P_{k,h}$, $D_k$, $T_{k,h}(a)$ hasta conseguir una matriz del tipo $D$.

El efecto de multiplicar $A$ por las matrices $P_{k,h}$, $D_k$, $T_{k,h}(a)$ es el siguiente:

$P_{i,j}A$ intercambia las filas $i$, $j$ de $A$.
$AP_{i,j}$ intercambia la columnas $i$, $j$ de $A$.
$D_j A$ multiplica la fila $j$ de $A$ por $-1$.
$AD_j$ multiplica la columna $j$ de $A$ por $-1$.
$T_{i,j}(a) A$ suma a la fila $i$ la fila $j$ multiplicada por $a$.
$AT_{i,j}(a) $ suma a la columna $j$ la columna $i$ multiplicada por $a$.

Procedemos de la siguiente forma:

Paso 1. Intercambiando filas y columnas de la matriz $A = (a_i^j)$ ponemos en el lugar $(1,1)$ un elemento distinto de cero, con el valor absoluto más pequeño. Supongamos que es $a_1^1$.

Paso 2. Hacemos las divisiones enteras de los elementos de la primera columna y de la primera fila por $a_1^1$: $$ a_1^k = a_1^1 q_k + b_1^k, \quad 0 \leq b_1^k < |a_1^1|, \qquad \qquad a_k^1 = a_1^1 p_k + b_k^1, \quad 0 \leq b_k^1 < |a_1^1| $$ Restando a las filas la primera multiplicada por $q_k$, y restando a las columnas la primera mulriplicada por $p_k$, obtenemos una matriz del tipo $$ \begin{pmatrix} a_1^1 & b_2^1 & \dots & b_n^1 \\ b_1^2 & c_2^2 & \dots & c_n^2 \\ & & \ddots & \\ b_1^m & c_2^m & \dots & c_n^m \end{pmatrix} $$

Paso 3. Si uno de los elementos $b_i^j$ es distinto de cero, escojemos el menor y lo ponemos en la posición $(1,1)$.

Paso 4. Repetimos los pasos 2 y 3 hasta obtener una matriz del tipo $$ \begin{pmatrix} a_1^1 & 0 & \dots & 0 \\ 0 & e_2^2 & \dots & e_n^2 \\ & & \ddots & \\ 0 & e_2^m & \dots & e_n^m \end{pmatrix} $$

Paso 5. Si alguno de los $c_i^j$ es distinto de cero, intercambiando filas y columnas de la matriz obtenida (distintas de las primeras) hasta colocar en el lugar $(2,2)$ un elemento $c_i^j$ con el valor absoluto más pequeño (entre los $c_i^j$), distinto de cero.

Paso 6. Repetimos los pasos del 2 al 4 hasta obtener una matriz cuyas dos primeras filas y dos primeras columnas solo tengan elementos distintos de 0 en la diagonal.

Iteramos estos pasos hasta obtener una matriz diagonal $D$.



Ejemplo. Sea $$ A = \begin{pmatrix} 7 & 8 & 9 \\ 4 & 5 & 6 \\ 1 & 2 & 3 \end{pmatrix} $$ Designemos por $F_j$ la fila $j$ y por $C_i$ la columna $i$. Hacemos los siguientes cambios en $A$:

(1) Intercambiamos $F_1$ y $F_3$;   (2) Sustituimos $F_2$ por $F_2-4F_1$;   (3) Sustituimos $F_3$ por $F_3 - 7F_1$;   (4) Sustituimos $C_2$ por $C_2 - 2C_1$;   (5) Sustituimos $C_3$ por $C_3-2C_1$;   (6) Sustituimos $F_3$ por $F_3 - 2F_2$;   (7) $C_3$ por $C_3-2C_2$;   (8) Sustituimos $F_2$ por $-F_2$. Obtenemos la matriz $$ D = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 3 & 0\\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} $$

Los cambios que hemos hecho equivalen a multiplicar $A$ por la izquierda por (atención al orden!): $$ P = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & -2 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ -7 & 0 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ -4 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \\ 0 & -1 & 4 \\ 1 & -2 & 1 \end{pmatrix} $$ y por la derecha por: $$ \begin{pmatrix} 1 & -2 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 0 & -3 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & -2 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & -2 & 1 \\ 0 & 1 & -2 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} $$ Es decir, $D = PAQ$.

La matriz $P$ tiene por columnas los coeficientes de los $r_i$ en el sistema $H$: $$ r_1 = h_3, \qquad r_2 = -h_2-2h_3, \qquad r_3 = h_1 + 4 h_2 + h_3 $$ La matriz Q tiene por columnas los coeficientes de los $e_i$ en el sistema $S$. Por tanto, las columnas de la inversa $Q^{-1}$ tiene por columnas los $s_i$ en el sistema $L$: $$ Q^{-1} = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 0 & 1 & 2 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \quad \Rightarrow \quad s_1=e_1, \qquad s_2 = 2e_1+e_2, \qquad s_3=3e_1+2e_2+e_3 $$


Dos grupos pueden tener una expresión distinta como la que hemos obtenido y sin embargo ser isomorfos. Por ejemplo, $\mathbb Z/(2) \times \mathbb Z/(3) \cong \mathbb Z/(6)$. Con una pequeña modificación del procedimiento que hemos explicado puede conseguirse que cada $d_j$ sea un divisor de $d_{j+1}$. Con esta condición, la expresión de un grupo es única y se llama forma normal de Smith.