Los grupos de homotopía y de homología

Irene Llerena


Grupos de homología




Teorema de Mayer Viatoris



Como en el caso del grupo fundamental, tenemos una herramienta para intentar calcular los grupos de homología de un poliedro a partir de los grupos de homología de subpoliedros, aunque como en aquel caso no siempre es posible obtener los grupos de homología. Se trata de la sucesión exacta de Mayer-Vietoris.


El sucesión de Mayer-Viatoris relaciona los grupos de homología de un poliedro $\pmb K$ con los grupos de homología de dos subpoliedros $\pmb P_1,$ $\pmb P_2$ tales que $\pmb K = \pmb P_1 \cup \pmb P_2,$ y los grupos de homología su intersección $\pmb Q = \pmb P_1 \cap \pmb P_2.$

Sucesión exacta de mayer-Viatoris.
Sea $\pmb K$ un poliedros unión de dos subpoliedros $\pmb K = \pmb P_1 \cup \pmb P_2$, y sea $\pmb Q = \pmb P_1 \cap \pmb P_2$. Existe una sucesión exacta $$ \dots \longrightarrow H_k(\pmb Q) \stackrel{\varphi}{\longrightarrow} H_k(\pmb P_1) \times H_k(\pmb P_2) \stackrel{\psi}{\longrightarrow} H_k(\pmb K) \stackrel{\Delta}{\longrightarrow} H_{k-1}(\pmb Q) \longrightarrow \dots \longrightarrow H_0(\pmb K) $$

Los morfismos $\varphi$, $\psi$ y $\Delta$ se definen de la siguiente manera:

Sea $[z] \in H_k(\pmb Q)$. El ciclo $z$ es también un ciclo considerado como cadena de los subpoliedros y determina sendas clases de homología. Definimos $$ \varphi ([z]) = \left( [z], [z] \right) \in H_k(\pmb P_1) \times H_k(\pmb P_2) $$

Sea $\left( [z_1], [z_2] \right) \in H_k(\pmb P_1) \times H_k(\pmb P_2)$. La diferencia $z_1 - z_2$ es un ciclo de $\pmb K$. Definimos $$ \psi \left( [z_1], [z_2] \right) = [z_1 - z_2] \in H_k(\pmb K) $$

Sea $[z] \in H_k(\pmb K)$. El ciclo $z$ es una cadena formada de símplices que pueden ser de cualquiera de los dos subpoliedros o de los dos. Podemos pues escribir $z$ como suma de cadenas de estos poliedros, $z = c_1 + c_2$, (probablemente de muchas maneras). $c_1$ y $c_2$ no tienen por qué ser ciclos. Ahora bien, como $z$ si lo es: $$ 0 = \partial z = \partial c_1 + \partial c_2 \quad \Rightarrow \quad \partial c_1 = -\partial c_2 $$ Estos bordes de $c_1$ y $c_2$ sí son ciclos y además están en los dos subpoliedros, es decir son ciclos de $\pmb Q$. Definimos $$ \Delta ([z]) = [\partial c_1] = [ - \partial c_2] \in H_{k-1}(\pmb Q) $$


Ejemplo. Para ilustrar como funciona esta sucesión con un ejemplo sencillo vamos a volver a calcular la homología del poliedro $\pmb K$ formado por las caras de un tetraedro.

Tomaremos subpoliedros formados por dos caras: $\pmb P_1$ consta las caras $< a_0, a_1,a_3 >$, $< a_1, a_2,a_3 >$ y sus aristas y vértices. $\pmb P_2$ consta de las otras dos caras y sus aristas y vértices. La intersección $\pmb Q$ consta de las aristas $< a_0,a_1 >$, $< a_1,a_2 >$, $< a_2,a_3 >$ y $< a_3,a_0 >$ y sus vértices. La sucesión de Mayer-Vietoris es $$ \begin{array}{ll} 0 \longrightarrow H_2(\pmb K) \stackrel{\Delta}{\longrightarrow} & H_1(\pmb Q) \stackrel{\varphi}{\longrightarrow} H_1(\pmb P_1) \times H_1(\pmb P_2) \stackrel{\psi}{\longrightarrow} \\ \\ & H_1(\pmb K) \stackrel{\Delta}{\longrightarrow} H_0(\pmb Q) \stackrel{\varphi}{\longrightarrow} H_0(\pmb P_1) \times H_0(\pmb P_2) \stackrel{\psi}{\longrightarrow} H_0(\pmb K) \longrightarrow 0 \end{array} $$

El poliedro $\pmb K$ y los dos subpoliedros tienen todos los grupos de homología cero, salvo el grupo $H_0$ que es $\mathbb Z$ en los tres casos.

$H_1(\pmb Q) \cong \mathbb Z$; con generador $z = < a_0,a_1 > + < a_1,a_2 >+< a_2,a_3>+< a_3,a_1 >$.

La sucesión de Mayer-Vietoris se parte en dos trozos. Uno es $$ \begin{array}{cccccc} 0 & \longrightarrow & H_2(\pmb K) & \stackrel{\Delta}{\longrightarrow} & H_1(\pmb Q) & \longrightarrow & 0 \\ & & [w] & \mapsto & [z] \end{array} $$ Lo que nos dice que $\Delta$ es inyectiva y exhaustiva, es decir, un isomorfismo. Un generador de $H_2(\pmb K) \cong \mathbb Z$ es un elemento que se aplique en $[z]$. Es decir, $w$ es la suma de una cadena de cada uno de los subpoliedros, cuyo borde sea $z$ y $-z$. Podemos tomar $$ \left. \begin{array}{l} c_1 = < a_0,a_1,a_3 > + < a_1,a_2,a_3 > \;\Rightarrow\; \partial c_1 = z \\ c_2 = < a_0,a_1,a_2 > + < a_0,a_2,a_3 > \;\Rightarrow\; \partial c_2 = -z \end{array} \right\} \quad w = c_1 + c_2 $$

El otro trozo es $$ \begin{array}{cccc} 0 \longrightarrow H_1(\pmb K) \stackrel{\Delta}{\longrightarrow} & H_0(\pmb Q) & \stackrel{\varphi}{\longrightarrow} & H_0(\pmb P_1) \times H_0(\pmb P_2) & \stackrel{\psi}{\longrightarrow} H_0(\pmb K) \longrightarrow 0 \\ & a_0 & \mapsto & ( a_0, a_0 ) & \end{array} $$ $\varphi$ es inyectiva y, por tanto, $H_1(\pmb K) = 0$.

$H_0(\pmb K)$ es el cociente de $H_0(\pmb P_1) \times H_0(\pmb P_2) = \mathbb Z \times \mathbb Z$ por la imagen de $\varphi$ que son los múltiplos de $(a_0, a_0)=(1,1)$. Como $(1,1)$ junto con $(0, 1)$ es también un sistema de generadores de $\mathbb Z \times \mathbb Z$ resulta que $H_0(\pmb K) = \mathbb Z\;$ generado por $a_1$.