Los grupos de homotopía y de homología

Irene Llerena



Grupos de homología




Sucesión de Mayer-Vietoris para homología simgular


La sucesión exacta de Mayer-Vietoris relaciona los grupos de homología de un espacio $X$ con los de dos subespacios y con su intersección, siempre que el interior de los dos subespacios recubra $X .$ Esto permite en muchos casos deducir la homología de $X$ conociendo la de algunos de sus subespacios.


Supongamos pues que $U$ y $V$ son dos subespacios de $X$ tales que $$ X = \overset{o}{U} \cup \overset{o}{V} $$ Se llama sucesión de Mayer-Vietoris a la siguiente serie de grupos y de morfismos $$ \dots \longrightarrow H_n(U\cap V) \stackrel{\varphi}{\longrightarrow} H_n(U) \times H_n(V) \stackrel{\psi}{\longrightarrow} H_n(X) \stackrel{\Delta}{\longrightarrow} H_{n-1}(U\cap V) \longrightarrow \dots $$

La sucesión de Mayer-Vietoris es exacta.

Los morfismos de la sucesión de Mayer-Vietoris se definen de la siguiente manera:

Dado $[z] \in H_n(U\cap V) ,$ el ciclo $z$ de $U \cap V$ es también ciclo considerado en $U$ y considerado en $V$ y define sendas clases de homología. Por definición $\; \varphi([z]) = ([z], \,[z]).$

Dado $([z_U], [z_V]) \in H_n(U) \times H_n(V) ,$ los ciclos $z_U$ y $z_V$ son también ciclos de $X .$ Por definición, $ \psi([z_U], \, [z_V]) = [z_U - z_V] \in H_n(X) .$

Para definir $\Delta([z])$ se busca un representante de $[z]$ que sea suma de una cadena $c_U$ con símplices de $U$ y una cadena $c_V$ con símplices de $V$: $[z]=[c_U + c_V] .$ Como esta suma es un ciclo se tiene que $\,\partial c_U + \partial c_V = 0 ,$ es decir $\partial c_U = - \partial c_V .$ Ahora bien en esta igualdad el elemento de la izquierda es un ciclo de $U$ y el de la derecha es un ciclo de $V .$ Es decir, se trata de un ciclo de la intersección. Por definición, $$ \Delta ([z]) = \Delta ([c_U + c_V]) = [\partial c_U] = - [\partial c_V] \in H_{n-1}(U\cap V) $$ Con estas definiciones no cuesta demostrar que la sucesión de Mayer-Vietoris es exacta. La cuestión clave es probar la existencia de un representante $c_U + c_V$ de la clase $[z] ,$ cuyos símplices sean de $U$ o de $V .$ Esto es lo que asegura el Teorema de las Cadenas Pequeñas.

Sea $\mathcal U = \{ U_j \}_j$ sea recubrimiento de $X$ tal que $X = \bigcup_j \overset{o}{U}_j ,$ (donde $\overset{o}{U}_j$ es el interior de $U_j$). Sea $S_n(\mathcal U)$ el subgrupo de $S_n(X)$ formado por las cadenas de símplices cuya imagen está en alguno de los $U_j$: $\; \iota: S_n(\mathcal U) \hookrightarrow S_n(X) .$ El borde de una cadena de $S_n(\mathcal U)$ es una cadena de $S_{n-1}(\mathcal U) .$ Tenemos $$ \begin{array}{ccccccccccc} \dots\longrightarrow & S_{n+1}(\mathcal U) & \stackrel{\partial_{n+1}}{\longrightarrow} & S_n(\mathcal U) & \stackrel{\partial_n}{\longrightarrow} & S_{n-1}(\mathcal U) & \longrightarrow & \dots & \longrightarrow & S_0(\mathcal U) & \longrightarrow 0 \\ & \downarrow \iota & & \downarrow \iota & & \downarrow \iota & & & & \downarrow \iota & \\ \dots\longrightarrow & S_{n+1}(X) & \stackrel{\partial_{n+1}}{\longrightarrow} & S_n(X) & \stackrel{\partial_n}{\longrightarrow} & S_{n-1}(X) & \longrightarrow & \dots & \longrightarrow & S_0(X) & \longrightarrow 0 \end{array} $$ que induce un morfismo entre los grupos de homología de estos dos complejos de cadenas $$ \iota_*: \; H_n(S_*(\mathcal U)) \longrightarrow H_n(X) $$

Teorema de las Cadenas Pequeñas. $\; \iota_*$ es un isomorfismo: $\;H_n(S_*(\mathcal U)) \cong H_n(X) .$

Así pues, cualquier elemento $[z]$ está representado por un ciclo cuyos símplices tienen imagen en uno de los $U_j$. Tomando en la sucesión de Mayer-Vietoris $\mathcal U = \{U, V\}$ tenemos que cualquier ciclo de $H_n(X)$ tiene un representante de la forma $c_U + c_V$. Alguno de los símplices de estas cadenas pueden tener imagen en $U \cap V$ y, por tanto, la descomposición en suma puede hacerse de muchas maneras. Veamos un ejemplo.


Ejemplo 1. El único espacio del que hemos calculado la homología es de un punto $\{x\} .$ También sabemos que todos los espacios homotópicamente equivalentes a un punto, los espacios contráctiles, tienen $H_0(X) = \mathbb Z$ y el resto de grupos de homología son 0.

Sea $S^1 = \{ (x,y) \in \mathbb R^2 \mid x^2+y^2 = 1 \} .$ Fijemos $ 0 < \varepsilon < 1$ y consideremos los subespacios abiertos: $$ U = \{(x,y) \in S^1 \mid y > -\varepsilon \}, \qquad V = \{(x,y) \in S^1 \mid y < +\varepsilon \} $$


$U$ y $V$ son contráctiles; su homología es 0 en todas las dimensiones salvo en dimensión 0 que es $\mathbb Z .$

$U \cap V = \{(x,y) \in S^1 \mid - \varepsilon < y < +\varepsilon \}$ tiene como retracto de deformación el par de puntos $p=(-1,0)$, $q=(1,0) .$


Un espacio con dos puntos solo tiene dos n-símplices $\Delta^n \to \{p,q\}$ en cada dimensión. El complejo de cadenas es (comparar con el de un punto aquí) $$ \dots \longrightarrow \mathbb Z \times \mathbb Z \stackrel{(0,0)}{\longrightarrow} \mathbb Z\times \mathbb Z \stackrel{(1,1)}{\longrightarrow} \mathbb Z \times \mathbb Z \stackrel{(0,0)}{\longrightarrow} \mathbb Z \times \mathbb Z \longrightarrow \dots \mathbb Z \times \mathbb Z \stackrel{(0,0)}{\longrightarrow} \mathbb Z \times \mathbb Z \longrightarrow 0 $$ y la homología es 0 en todas las dimensiones salvo en dimensión 0 que es $\mathbb Z \times \mathbb Z .$


En la sucesión de Mayer-Vietoris tenemos por tanto que casi todos los grupos de homología de $U$, $V$ y $U\cap V$ son cero. En particular, si $k \not= 1, 0$ $$ 0 \longrightarrow H_k(X) \longrightarrow 0 \quad\Rightarrow\quad H_k(X) = 0 $$

El último trozo de la sucessión de Mayer-Vietoris es $$ 0 \longrightarrow H_1(S^1) \stackrel{\Delta}{\longrightarrow} H_0(U \cap V) \stackrel{\varphi}{\longrightarrow} H_0(U) \times H_0(V) \stackrel{\psi}{\longrightarrow} H_0(S^1) \longrightarrow 0 $$ La aplicación $\psi = 0 .$ En efecto, si $[a] \in H_0(U)$, $[b]\in H_0(V) ,$ $\psi([a],[b]) = [a-b] = [0]$ porque $a-b$ es borde de un 1-simplex de $X$ que una b con a. Así pues, $$ H_0(S^1) \cong \mathbb Z $$

$\Delta$ es inyectiva y $H_1(S^1)$ es isomorfo a $\text{im}\,\Delta = \ker \varphi .$ Como hemos visto más arriba, $H_0(U\cap V)$ tiene dos generadores $[p]$ y $[q] ,$ cuyas imágenes por $\varphi$ son $\varphi([p]) = ([p], [p])$ y $\varphi(q) = ([q],[q]) .$ Ahora bien, como $U$ y $V$ son arco-conexos, los puntos $p$ y $q$ representan la misma clase de homología de estos espacios. Es decir, $\varphi([p]) = \varphi([q])$ y el núcleo $\ker \varphi \cong \mathbb Z$ generado por $[p-q] .$ Así pues, $$ H_1(S^1) \cong \mathbb Z $$

¿Qué 1-cadena genera $H_1(S^1)$ ? Pues será una que $\Delta$ apliqui en $[p-q]$ (o en $[q-p]$). Dado como esta definida $\Delta ,$ tenemos que buscar cadenas $c_U$ y $c_V$ cuyos bordes sean, de una $p-q$ y de la otra $q-p$. En $U$ un camino de $q$ a $p$ cumple esta condición; en $V$ es un camino de $p$ a $q:$ $$ \begin{array}{rccccrccc} \sigma_U: & \Delta^1 & \longrightarrow & U & \quad & \sigma_V: & \Delta^1 & \longrightarrow & V \\ & (1-t, t) & \mapsto & (\cos \pi t, \, \sin \pi t) & & & (1-t, t) & \mapsto & (\cos \pi(1+t), \, \sin \pi(1+t)) \end{array} $$ La cadena $\sigma_U + \sigma_V$ es un ciclo y representa un generador de $H_1(S^1) .$


Ejemplo 2. Para las esferas de dimensión superior se procede de forma similar y se aplica inducción. Supongamos pues que ya sabemos que $$ H_0(S^{n-1}) \cong \mathbb Z, \qquad H_{n-1}(S^{n-1}) \cong \mathbb Z, \qquad H_k(S^{n-1}) = 0 , \quad k \not= 0, n-1 $$

Sea $S^n = \{ (x_1,\dots, x_{n+1}) \in \mathbb R^{n+1} \mid x_1^2+ \dots + x_n^2 = 1 \}$. Fijemos $ 0 < \varepsilon < 1$ y consideremos los subespacios abiertos: $$ U = \{(x_1\dots, x_{n+1}) \in S^n \mid x_n > -\varepsilon \}, \qquad V = \{(x_1\dots, x_{n+1}) \in S^n \mid x_n < +\varepsilon \} $$ $U$ y $V$ son homeomorfos a bolas de dimensión n y, por tanto, contráctiles; su homología es 0 en todas las dimensiones salvo en dimensión 0 que es $\mathbb Z .$

La intersección $U \cap V$ tiene el ecuador de $S^n$ como retracto de deformación. Como el ecuador es una esfera $S^{n-1}$: $$ H_0(U \cap V) \cong \mathbb Z, \qquad H_{n-1}(U\cap V) \cong \mathbb Z $$ y el resto de grupos $H_k(U\cap V) = 0 .$ En la sucesión de Mayer-Vietoris todos los grupos $H_k(S^n)$ con $k \not= 0,1,n$ están entre dos ceros, y son por tanto 0. El grupo de dimensión n aparece en $$ 0 \longrightarrow H_n(S^n) \stackrel{\Delta}{\longrightarrow} H_{n-1}(U\cap V) \longrightarrow 0 $$ lo que nos dice que $H_n(S^n) \cong H_{n-1}(S^{n-1}) \cong \mathbb Z .$ En dimensiones bajas tenemos $$ 0 \longrightarrow H_1(S^n) \stackrel{\Delta}{\longrightarrow} H_0(U\cap V) \stackrel{\varphi}{\longrightarrow} H_0(U) \times H_0(V) \stackrel{\psi}{\longrightarrow} H_0(S^n) \longrightarrow 0 $$ $H_0(U\cap V)\cong \mathbb Z$ está generado por la clase de cualquiera de sus puntos $p \in U\cap V$ y $\varphi([p]) = ([p], [p])$ es siempre distinto de 0. Es decir, $\ker \varphi = 0$ y $\text{im}\,\varphi \cong \mathbb Z$ generado por $([p], [p]) .$ Por tanto $$ H_1(S^n) \cong \ker \varphi = 0 \quad \text{ y} \quad H_0(S^n) \cong \left(H_0(U) \times H_0(V)\right) / \text{im}\,\varphi \cong \mathbb Z $$ ya que $([p], [p])$ junto con $([p], 0)$ es también un sistema de generadores. $H_0(S^1)$ está generado por $[p]-0 = [p].$