Los grupos de homotopía y de homología

Irene Llerena


Grupos de homología



Homomorfismo de Hurewicz


El homomorfismo de Hurewicz relaciona el grupo fundamental con el primer grupo de homología de un espacio arco-conexo $$ h: \pi(X, x_0) \longrightarrow H_1(X) $$ (Un homomorfismo es exactamente lo mismo que un morfismo.)

Por su definición, los grupos de homología son siempre conmutativos. En cambio el grupo fundamental puede serlo o no. Recordar por ejemplo el grupo fundamental de la figura del ocho.

Si el grupo fundamental es conmutativo, el homomorfismo de Hurewicz es un isomorfismo. En general, el homomorfismo de Hurewicz es siempre exhaustivo y, por ser $H_1(X)$ conmutativo, los elementos de la forma $\; [\omega][\rho][\omega]^{-1}[\rho]^{-1}, $ con $ [\omega], [\rho] \in \pi(X, x_0), $ son del núcleo. (Empleamos la notación multiplicativa para el grupo fundamental).

Se demuestra que $\ker h$ es el menor subgrupo que contiene todos esos elementos. Si el grupo fundamental es conmutativo, $\ker h = 1$, y $h$ es un isomorfismo.

Para cualquier grupo $G$, se define el conmutador de $G$ como el menor subgrupo $[G, G]$ que contiene $S = \{ xyx^{-1}y^{-1} \mid x, y \in G\} .$ Se dice que $[G, G]$ es el subgrupo generado por $S$. Si $G$ es conmutativo $[G, G] = 1 .$ El conmutador es el conjunto de elementos que "deberían" ser 1 para que el grupo $G$ fuera conmutativo. El grupo cociente $G/[G,G]$ es un grupo conmutativo que se llama el abelianizado de $G .$ Atención! porque aquí se trata del cociente de un grupo no conmutativo, para el que no es válida la definición de cociente tal como la hemos dado.

En particular, $$ H_1(X) = \pi(X, x_0)/[\pi(X, x_0), \pi(X, x_0)] $$


Vamos a explicar un poco más la relación entre 1-ciclos y caminos cerrados que permite definir el homomorfismo de Hurewicz. Por claridad introducimos la siguiente notación: Sea $\varphi: \Delta^1 \to [0,1]\;$ tal que $\, \varphi(1-t, t)= t.$ Asociamos a cada camino $\omega$ el 1-símplice $$ \omega: [0,1] \longrightarrow X \quad\leftrightarrow\quad \overline{\omega} = \omega\circ \varphi : \Delta^1 \longrightarrow X $$ Los hechos clave que permiten definir el homomorfismo de Hurewicz son:

(1) Si el final del caminos $\omega$ coincide con el origen del camino $\rho ,$ la cadena $\; \overline{\omega}+ \overline{\rho} - \overline{\omega\rho}\,$ es el borde de un 2-símplice.

(2) Para cualquier camino $\omega$ se tiene: $\;\overline{\omega} + \overline{\omega^{-1}}$ es el borde de un 2-símplice.

(3) Si $\omega$ y $\rho$ son dos caminos cerrados homótopos, $\; \overline{\omega} - \overline{\rho}$ es borde de una 2-cadena.

El homomorfismo de Hurewicz $h$ aplica la clase de un camino cerrado $\omega$ en la clase de $\overline{\omega}$ (que es un ciclo por ser $\omega$ cerrado). $$ h([\omega])\, = \, [\overline{\omega}] $$ De los resultados anteriores se deduce que caminos homótopos dan lugar a ciclos que se diferencian en un borde. Por tanto, cualquier representante de un elemento del grupo fundamental se aplica en la misma clase de homología; es decir, $h$ está bien definida. Además $h$ es un morfismo, puesto que la composición de caminos se aplica en la suma de 1-símplices.