Los grupos de homotopía y de homología

Irene Llerena


Grupos de homología



Test Grupos de Homología



1. Cilindro. Podemos considerar un cilindro como un espacio celular con dos 0-celdas, tres 1-celdas y una 2-celda, como se indica en la figura. Su complejo de cadenas celular es, por tanto, $$ \begin{array}{ccccccc} 0 \longrightarrow & \mathbb Z & \stackrel{\partial_2}{\longrightarrow} & \mathbb Z^3 & \stackrel{\partial_1}{\longrightarrow} & \mathbb Z^2 & \longrightarrow 0 \\ & c & & a, b_1, b_2 & & A, B & \end{array} $$ donde hemos indicado debajo de cada grupo un sistema de generadores. Se pide:
1. Determinar las matrices de $\partial_2$ y $\partial_1 .$
2. Calcular los grupos de homología y sus generadores.


Descomposici&oacuten celular del cilindro




2. Banda de Moebius. Podemos considerar la banda de Moebius como un espacio celular con dos 0-celdas, tres 1-celdas y una 2-celda, como se indica en la figura. Su complejo de cadenas celular es, por tanto, $$ \begin{array}{ccccccc} 0 \longrightarrow & \mathbb Z & \stackrel{\partial_2}{\longrightarrow} & \mathbb Z^3 & \stackrel{\partial_1}{\longrightarrow} & \mathbb Z^2 & \longrightarrow 0 \\ & c & & a, b_1, b_2 & & A, B & \end{array} $$ donde hemos indicado debajo de cada grupo un sistema de generadores. Se pide:
1. Determinar las matrices de $\partial_2$ y $\partial_1 .$
2. Calcular los grupos de homología y sus generadores.


Descomposici&oacuten celular de la banda de Moebius



El cilindro y la banda de Moebius no son homeomorfos: el borde del cilindro tiene dos componentes conexas y, en cambio, el borde de la banda de Moebius solo tiene una componente. Sin embargo, tienen los mismos grupos de homología.
El cálculo de su homología se puede hacer de forma más rápida observando que ambos espacios son homotópicamente equivalentes a un circunferencia.



3. Toro. El toro tiene una descomposición celular con 1 0-celda, 2 1-celdas y 1 2-celda. Su complejo de cadenas es $$ \begin{array}{ccccccc} 0 \longrightarrow & \mathbb Z & \stackrel{\partial_2}{\longrightarrow} & \mathbb Z^2 & \stackrel{\partial_1}{\longrightarrow} & \mathbb Z & \longrightarrow 0 \\ & c & & a, b & & A & \end{array} $$ donde hemos indicado debajo de cada grupo un sistema de generadores. Se pide:
1. Determinar las matrices de $\partial_2$ y $\partial_1 .$
2. Calcular los grupos de homología y sus generadores.


Descomposici&oacuten celular del toro




4. Botella de Klein La botella de Klein tiene una descomposición celular con 1 0-celda, 2 1-celdas y 1 2-celda. Su complejo de cadenas es $$ \begin{array}{ccccccc} 0 \longrightarrow & \mathbb Z & \stackrel{\partial_2}{\longrightarrow} & \mathbb Z^2 & \stackrel{\partial_1}{\longrightarrow} & \mathbb Z & \longrightarrow 0 \\ & c & & a, b & & A & \end{array} $$ donde hemos indicado debajo de cada grupo un sistema de generadores. Se pide:
1. Determinar las matrices de $\partial_2$ y $\partial_1 .$
2. Calcular los grupos de homología y sus generadores.


Descomposici&oacuten celular dela boltella de Klein




5. Plano Proyectivo. Un plano proyectivo es el cociente de un disco identificando puntos antipodales del borde. No tiene una realización en $\mathbb R^3$, pero sí en $\mathbb R^4$. La figura describe una descomposición celular del plano proyectivo con una 0-celda, una 1-celda y una 2-celda. La aplicación de adjunción $f: S^1 \to S^1_a$ recorre dos veces la 1-celda $a$ (que es una circunferencia $S^1_a$); esto es, $\,f(\cos 2\pi t, \sin 2\pi t) = (\cos 4\pi t, \, \sin 4\pi t).\,$ Su complejo de cadenas es $$ \begin{array}{ccccccc} 0 \longrightarrow & \mathbb Z & \stackrel{\partial_2}{\longrightarrow} & \mathbb Z & \stackrel{\partial_1}{\longrightarrow} & \mathbb Z & \longrightarrow 0 \\ & c & & a & & A & \end{array} $$ donde hemos indicado debajo de cada grupo un sistema de generadores. Se pide:
1. Determinar las matrices de $\partial_2$ y $\partial_1 .$
2. Calcular los grupos de homología y sus generadores.


Descomposici&oacuten celular dela boltella de Klein




6. Dodecaedro esférico . Es un dodecaedro en el que se ha identificado cada cara pentagonal con su opuesta, tras un giro de $\pi/4$. La figura representa un dodecaedro del que hemos eliminado la cara opuesta a la central para poder chafarlo y representarlo en el plano. Hemos dado el mismo color a dos caras cuando están identificadas. Los vértices se han reducido a cinco.


Descomposici&oacuten celular del dodecaedroesferico

Tenemos pues una descomposición celular con cinco 0-celdas, diez 1-celdas, seis 2-celdas y una 3-celda (el interior del dodecaedro). Su complejo de cadenas es $$ \begin{array}{ccccccccc} 0 \longrightarrow & \mathbb Z & \stackrel{\partial_3}{\longrightarrow} & \mathbb Z^6 & \stackrel{\partial_2}{\longrightarrow} & \mathbb Z^{10} & \stackrel{\partial_1}{\longrightarrow} & \mathbb Z^{5} & \longrightarrow 0 \end{array} $$

Buscar un árbol $T$ y calcular la homología del 1-esqueleto, esto es del conjunto de 1-celdas $X^{(1)} .$



Con un poco más de trabajo se puede calcular el efecto de adjuntar las seis 2-celdas. Se obtiene $H_1(X^{(2)}) = 0$ y $H_2(X^{(2)}) = 0$. De aquí resulta que al adjuntar la 3-celda obtenemos como homología del dedecaedro esférico $X = X^{(3)}$ es la misma que la de la esfera $S^3$ $$ H_k(X) = 0 \; \text{ si }\, k > 4, \qquad H_3(X) = \mathbb Z, \qquad H_2(X) = 0, \qquad H_1(X) = 0, \qquad H_3(X) = \mathbb Z $$ Sin embargo el dodecaedro esférico no es homotópicamente equivalente a $S^3$, porque sus grupos fundamentales son distintos. Henri Poincaré enunció, en un primer momento, su famosa Conjetura de Poincaré diciendo que La única variedad compacta sin borde con la misma homología que $S^3$ era $S^3$. Más tarde construyo el dodecaedro esférico que contradecía su conjetura y la modificó exigiendo que la variedad fuera simplemente conexa, es decir que su grupo fundamental fuera la unidad. La Conjetura de Poincaré fue demostrada por Grigori Perelman en el 2006.



7. Una pelota de fútbol está formada por pentágonos y hexágonos. Además en cada vértice concurren el mismo número $k \geq 3$ de aristas. Sabiendo que la característica de Euler de la esfera es 2, deducir que el número de caras pentagonales es siempre un cierto número $c_p$. Las pelotas de fútbol normales tienen cada cara pentagonal rodeada por 5 hexágonos y cada cara hexagonal rodeada por 3 pentágonos y 3 hexágonos. ¿Cuantas caras hexagonales tienen la pelotas de fútbol normales?