Propiedades de interiores y adherencias 2

Proposición. Sean $A$, $B$ y $A_j$, $j \in J$, subconjuntos de un espacio topológico $(X,\tau)$.

(1) $\overline{A \cup B} = \overline{A} \cup \overline{B}$. En el caso infinito, siempre es cierto que $\bigcup_j \overline{A_j} \subset \overline{\bigcup_j A_j}$, pero la inclusión puede ser estricta.

(2) Para cualquier familia, finita o no, $\, \overline{ \bigcap_j A_j} \subset \bigcap_j \overline{A_j} \,$. La inclusión puede ser estricta incluso en el caso finito.

(3) Para cualquier familia, finita o no, $\, \bigcup_j A_j^\circ \subset \left( \bigcup_j A_j\right)^\circ \, $. La inclusión puede ser estricta incluso en el caso finito.

(4) $A^\circ \cap B^\circ = (A\cap B)^\circ$. En el caso infinito, siempre es cierto que $(\bigcap_j A_j)^\circ \subset \bigcap_j A_j^\circ$ pero la inclusión puede ser estricta.

Demostración. Cuando la afirmación valga tanto para el caso finito como no finito, consideraremos directamente una familia $J$ que puede ser finita o no. Observemos también que, si una condición vale para dos subconjuntos, es también cierta para cualquier número finito de subconjuntos.

(1) $$ A_k \subset \bigcup_j A_j \quad \text{para todo }\,\, k \quad \Rightarrow \quad \overline{A_k} \subset \overline{\bigcup_j A_j} \quad \text{para todo }\,\, k \quad \Rightarrow \quad \bigcup_j \overline{A_j} \subset \overline{\bigcup_j A_j} $$

La inclusión en sentido inverso no es cierta en el siguiente ejemplo: Sea $\overline{A_j} = A_j = [-1 + \frac{1}{j}, 1 - \frac{1}{j}]$, donde $j$ recorre los enteros positivos. Tenemos

$$ \bigcup_j \overline{A_j} = \bigcup_j A_j = (-1,1) \underset{\not=}{\subset} [-1,1] = \overline{\bigcup_j A_j} $$

En el caso de dos conjuntos, como $A\cup B \subset \overline{A} \cup \overline{B}$ y este segundo conjunto es cerrado, debe cumplirse que $\overline{A\cup B} \subset \overline{A} \cup \overline{B}$.

(2) $$ \bigcap_j A_j \subset A_k \quad \text{para todo }\,\, k \quad \Rightarrow \quad \overline{\bigcap_j A_j} \subset \overline{A_k} \quad \text{para todo }\,\, k \quad \Rightarrow \quad \overline{\bigcap_j A_j} \subset \bigcap_j \overline{A_j} $$
Ahora bien, si tomamos, por ejemplo, $A=[0,1)$ y $B=(1,2]$ tenemos $$ \overline{A\cap B} = \overline{\emptyset} = \emptyset\, \underset{\not=}{\subset} \, \overline{A} \cap \overline{B} =[0,1]\cap[1,2] =\{1\}. $$

(3) $$ A_k \subset \bigcup_j A_j \quad \text{para todo }\,\, k \quad \Rightarrow \quad A_k^\circ \subset (\bigcup_j A_j)^\circ \quad \text{para todo }\,\, k \quad \Rightarrow \quad \bigcup_j A_j^\circ \subset \left(\bigcup_j A_j\right)^\circ $$
Para ver que la inclusión puede ser estricta, tomemos $A=[0,1)$ y $B=[1,2]$. Entonces $$ A^\circ \cup B^\circ = (0,1) \cup (1,2) \, \underset{\not=}{\subset} \, (A\cup B)^\circ = [0,2]^\circ = (0,2) $$

(4) $$ \bigcap_j A_j \subset A_k \quad \text{para todo }\,\, k \quad \Rightarrow \quad \left( \bigcap_j A_j\right)^\circ \subset A_k^\circ \quad \text{para todo }\,\, k \quad \left( \bigcap_j A_j\right)^\circ \subset \bigcap_j A_j^\circ $$
En el caso finito $\bigcap_j A_j^\circ$ es abierto y contenido en $\bigcap_j A_j$, y por tanto también es cierta la inclusión $\,\bigcap_j A_k^\circ \subset \left( \bigcap_j A_j\right)^\circ$.

Cuando la familia no es finita, la intersección $\bigcap_j A_j^\circ$ puede no ser un abierto y la inclusión ser estricta. Por ejemplo, si tomamos $A_j = (-1 - \frac{1}{j}, 1 + \frac{1}{j})$, donde $j$ recorre los enteros positivos

$$ \left(\bigcap_j A_j\right)^\circ = [-1, +1]^\circ = (-1, +1) \underset{\not=}{\subset} \bigcap_j A_j^\circ = \bigcap_j A_j = [-1, +1] $$