Proposición. Una aplicación es continua si, y solo si, la antiimagen de un cerrado es un cerrado.
Demostración
Sea $f:X \to Y$ una aplicación cualquiera.
La antiimagen del complementario es el complementario de la imagen:
$\, f^{-1}(Y \setminus A) = X \setminus f^{-1}(A)$. Por tanto, si $f$ es
continua
$$
\begin{array}{lll}
A \quad \text{ cerrado } & \quad\Rightarrow\quad &
Y \setminus A \quad \text{ abierto } \\ &
\quad\Rightarrow\quad & f^{-1}(Y \setminus A) =
X \setminus f^{-1}(A) \quad \text{ abierto } \\ &
\quad\Rightarrow\quad & f^{-1}(A) \quad \text{ cerrado}
\end{array}
$$
Recíprocamente, si las antiimágenes de cerrados son cerrados, $f$ es continua
ya que
$$
\begin{array}{lll}
A \quad \text{ abierto } & \quad\Rightarrow\quad &
Y \setminus A \quad \text{ cerrado } \\ &
\quad\Rightarrow\quad &
f^{-1}(Y \setminus A) = X \setminus f^{-1}(A) \quad \text{ cerrado } \\ &
\quad\Rightarrow\quad & f^{-1}(A) \quad \text{ abierto}
\end{array}
$$
En particular, si $\mathbb R^n \to \mathbb R^m$ es continua, el conjunto de puntos que se aplican en $0$ es un cerrado.