Proposición. Sea $f:X \to Y$ una aplicación entre dos espacios topológicos y sea $\mathcal C = \{C_j\}_{j\in J}$ un recubrimiento cerrado localmente finito de $X$. Designemos por $f_j: C_j \to Y$ la restricción de $f$ a $C_j$. Si todas las $f_j$ son continuas, entonces $f$ también lo es.
Demostración. Si el recubrimiento $\mathcal C$ es finito, la demostración es casi idéntica al caso de recubrimientos abiertos, pero demostrando ahora que la antiimagen de un cerrado $A$ de $Y$ es cerrado. En efecto, $$ f^{-1}(A) = \bigcup_j f_j^{-1}(A) $$ Por la continuidad de $f_j$, $\, f_j^{-1}(A)$ es cerrado en $A_j$, que a su vez es cerrado en $X$. Por tanto, los conjuntos $f_j^{-1}(A)$ son cerrados también en $X$. $f^{-1}(A)$ es cerrado por ser unión de cerrados en $X$.
En el caso de un recubrimiento localmente finito, como cada punto de $X$ tiene un entorno abierto que corta solo un número finito de cerrados en $\mathcal C$, existe un recubrimiento abierto $\mathcal U = \{ U_k, \, k \in K \}$ tal que cada $U_k$ corta solo un número finito de los cerrados en $\mathcal C$. Por la primera parte, la restricción de $f$ a cada $U_k$ es continua. Por el resultado ya demostrado para recubrimientos abiertos (ver aquí), $f$ es continua sobre todo $X$.