Proposición. Un subespacio $A$ de $X$ es un retracto si, y solo si, toda aplicación continua definida sobre $A$ se extiende a una aplicación continua definida sobre todo $X$.
Demostración
Supongamos que $A$ es un retracto de $X$ y $r: X \to A$ una retracción. Dada
una aplicación continua $f: A \to Y$ la composición $f\circ r: X \to Y$ es una
extensión continua de $f$.
Supongamos que toda aplicación $f: A \to Y$ puede extenderse a todo $X$.
En particular, la identidad $Id_A: A \hookrightarrow A$ admite una extensión
$r: X \to A$ que es una retracción.